Это случилось на прошлой неделе. Трое математиков решили геометрическую задачу, которая ставила в тупик весь научный мир с 1995 года. Решение оказалось сенсацией — слово, которое Мишель Талегранд употребил осознанно. Именно он изначально сформулировал эту загадку. В 2024 году Талегранд стал лауреатом премии АBEL (которую часто называют «Нобелевской премией» по математике).
Он не ожидал дожить до момента, когда эта задача будет решена. Честно говоря, пока доказательство не появилось в интернете, он не верил, что оно вообще возможно. Ни на секунду.
«Это самый необычайный результат за всю мою жизнь. Правильное слово здесь — сенсация».
Речь идёт о формах. Но не о любых. Мы говорим о пространствах высокой размерности, где число измерений достигает сотен или даже миллиардов. В этих обширных хаотичных пустотах, заполненных случайными точками, неизбежно должны появляться простые выпуклые фигуры.
Вспомним, что такое выпуклость. Это свойство формы, при которой она выпирает наружу. Без вмятин, без углублений, без «пропущенных кусков», как у персонажа Pac-Man. Если соединить двумя точками внутри фигуры прямой линией, вся линия должна оставаться внутри фигуры. Круг? Выпуклый. Pac-Man? Нет. Соедините точку над открытым ртом и точку под ним — линия выйдет за пределы фигуры.
В пространствах с низкой размерностью, таких как плоские листы бумаги или наши трёхмерные комнаты, это вполне управляемо. Но добавьте ещё одно измерение, и математика становится запутанной. Требуется всё больше сложных вычислительных шагов. Или так мы думали.
В 1995 году Талегранд предположил, что существует «кратчайший путь». Простой способ создавать такие выпуклые оболочки из случайных точек, сложность которого не возрастает с увеличением размерности. Даже во вселенной с миллиардами измерений сложность фигуры может оставаться фиксированной. Простой. Чистый.
Большинство экспертов счели это нелепостью. Настоящим чудом.
«Когда вы говорите нечто подобное, вы чувствуете, что это не может быть правдой».
Талегранд не выдвинул эту гипотезу как установленный факт. Это было вызовом. Приз в 2000 долларов тому, кто сможет это доказать — или, что ещё лучше, опровергнуть с помощью контрпримера. Прошли годы. Проводились доклады. Приз оставался незыблемым. Никто не мог решить задачу.
И тогда появился Антуан Сонг.
Он работает в Калифорнийском технологическом институте (Caltech) и решил переформулировать задачу на языке теории вероятностей. Вместо того чтобы рисовать линии и фигуры, он начал анализировать выбор случайных точек в пространстве. Статистические правила. Вероятностные исходы.
В стене неожиданно появилась трещина.
Асаф Наор из Принстонского университета назвал это переломным моментом. Казалось, вся структура вот-вот рухнет. Сонг увидел путь, но не смог пройти его. Он столкнулся со стеной математических объектов, которые ему были незнакомы. Что он сделал?
Он спросил ChatGPT.
Сонг и его студент Дунмин Хуа обратились к искусственному интеллекту, зайдя в тупик. Им нужна была помощь в работе с определённым математическим понятием, которое для них было новой территорией. Большая языковая модель предоставила недостающее звено, предложив доказательство утверждения, которое им требовалось.
Значит ли это, что задачу решил ИИ? Не совсем.
На сцену вышел Стефан Тудосе, ещё один математик из Принстона. Он слышал слухи. Он знал об этом объекте. И пока Сонг и Хуа общались с ботом, Тудосе самостоятельно разрабатывал доказательство. Более широкое. Более глубокое по смыслу.
Сонг и Хуа проверили его работу. Тудосе был прав. Более того, решение, предложенное ИИ, в любом случае дублировало некоторые старые, забытые публикации. Они не смогли определить, было ли решение ChatGPT оригинальным или это просто повторение утерянных данных. Это чёрный ящик. Непрозрачность сохраняется.
Но вот в чём подвох: в итоге они не использовали доказательство, полученное от ИИ. Они использовали доказательство Тудосе.
Является ли это триумфом искусственного интеллекта? Или это просто ещё один инструмент в наборе?
«Появление инструментов ИИ сделало [поиск] ещё [проще]… Исторически навигация по unfamiliar mathematical literature требовала консультаций с [людьми]»
Сонг видит в этом эволюцию. Сначала поисковые системы. Теперь ИИ. Это ускоряет поиск в литературных источниках. Но инсайт? Креативность? Это всё ещё исходит от нас.
Мы не знаем, куда это приведёт дальше. Возможно, это изменит то, как машины обрабатывают данные. Возможно, это останется просто любопытной сноской.
Талегранд просто рад, что задача решена. Хотя, сжимая плечами, он добавляет (звучит очень по-человечески), что если бы ему было на двадцать лет меньше, он потратил бы весь следующий год, пытаясь понять магию, стоящую за всем этим.
