C’est arrivé la semaine dernière. Trois mathématiciens ont résolu un problème de géométrie qui déconcerte le monde depuis 1995. La solution était sensationnelle, un mot que Michel Talagrand utilise délibérément. C’est lui qui a posé l’énigme en premier lieu, le lauréat 2024 du prix Abel, qui est essentiellement le Nobel de mathématiques.
Il ne s’attendait pas à vivre assez longtemps pour voir ça. Honnêtement, jusqu’à ce que la preuve soit publiée en ligne, il ne croyait pas que c’était vrai. Pas même une seconde.
“C’est le résultat le plus extraordinaire de toute ma vie. Le mot juste est sensationnel.”
Le problème concerne les formes. Mais pas n’importe quelles formes. Nous parlons d’espaces de grande dimension, de centaines, voire de milliards de dimensions. Dans ces vastes vides chaotiques de points épars, des formes simples et convexes devraient inévitablement apparaître.
Pensez à la convexité. C’est cette propriété de renflement vers l’extérieur. Pas de bosses, pas de crevasses, pas d’espace dans la bouche de Pac-Man. Si vous connectez deux points à l’intérieur de la forme avec une ligne droite, toute la ligne doit rester à l’intérieur de la forme. Un cercle ? Convexe. Un Pac-Man ? Non. Connectez les points au-dessus et au-dessous de la bouche ouverte et la ligne tranche directement.
Dans des dimensions inférieures, comme nos feuilles de papier plates ou nos pièces tridimensionnelles, cela est gérable. Mais ajouter une autre dimension ? Les calculs deviennent compliqués. Cela nécessite des étapes de plus en plus complexes. C’est du moins ce que nous pensions.
Talagrand soupçonnait en 1995 qu’il existait un raccourci. Un moyen simple de construire ces conteneurs convexes à partir de points aléatoires qui ne sont pas devenus plus difficiles à mesure que vous avez ajouté des dimensions. Même dans un univers comportant des milliards de dimensions, la complexité de la forme pourrait rester fixe. Simple. Faire le ménage.
Pour la plupart des experts, cela semblait absurde. Un miracle, vraiment.
“Quand vous dites quelque chose comme ça, vous avez l’impression que cela ne peut pas être vrai.”
Talagrand n’a pas présenté cette conjecture comme un fait. C’était un défi. Un défi de 2 000 $ pour quiconque pourrait le prouver – ou mieux encore, le réfuter avec un contre-exemple. Les années ont passé. Des discussions ont été données. Les prix n’ont pas été récupérés. Personne ne pourrait le briser.
Puis vint Antoine Song.
Il est à Caltech, un mathématicien qui a décidé de réécrire la question dans le langage des probabilités. Au lieu de dessiner des lignes et des formes, il a commencé à chercher des points aléatoires dans l’espace. Règles statistiques. Résultats probabilistes.
Soudain, le mur se fissure.
Assaf Naor, à Princeton, a qualifié cela de « changeur de jeu ». C’était comme si la structure était sur le point de s’effondrer. Song a vu un chemin, mais il ne pouvait pas le parcourir. Il s’est heurté à un mur d’objets mathématiques qu’il ne comprenait pas. Alors qu’a-t-il fait ?
Il a demandé à ChatGPT.
Song et son élève Dongming Hua se sont tournés vers l’IA lorsqu’ils étaient coincés. Ils avaient besoin d’aide pour manipuler un concept mathématique spécifique, un territoire inconnu pour eux. Le LLM a fourni le chaînon manquant, offrant une preuve de la proposition dont ils avaient besoin.
Cela signifie-t-il que l’IA a résolu le problème ? Non, pas exactement.
Entrez Stefan Tudose, un autre mathématicien de Princeton. Il avait entendu la rumeur. Il connaissait l’objet. Et pendant que Song et Hua discutaient avec un robot, Tudose préparait déjà lui-même une preuve. Celui qui était plus large. Plus perspicace.
Song et Hua l’ont vérifié. Tudose avait raison. En fait, la solution de l’IA reflétait de toute façon certaines publications anciennes et négligées. Ils ne pouvaient pas dire si ChatGPT était original ou s’il régurgitait simplement des données oubliées. C’est une boîte noire. L’opacité demeure.
Mais voici le problème : ils n’ont finalement pas utilisé la preuve de l’IA. Ils ont utilisé celui de Tudose.
Est-ce un triomphe pour l’intelligence artificielle ? Ou juste un autre outil dans la boîte ?
“L’avènement des outils d’IA a rendu la tâche encore plus [plus facile]… Historiquement, naviguer dans une littérature mathématique peu familière nécessitait de consulter [des personnes]”
Song y voit une évolution. Premiers moteurs de recherche. Maintenant l’IA. Cela accélère la chasse à travers la littérature. Mais la perspicacité ? La créativité ? Cela vient toujours de nous.
Nous ne savons pas où cela va ensuite. Peut-être que cela change la façon dont les machines traitent les données. Cela reste peut-être une curieuse note de bas de page.
Talagrand est juste content que ce soit fait. Il ajoute cependant, avec un haussement d’épaules qui semble distinctement humain, que s’il avait vingt ans de moins, il passerait toute l’année prochaine à essayer de comprendre la magie qui se cache derrière tout cela.
