A geometria euclidiana é confortável. É a geometria de folhas planas e linhas retas. Ele pressupõe que você pode traçar uma linha para sempre em qualquer direção. Assume que as linhas paralelas permanecem paralelas, sempre.
A geometria Riemanniana joga esse conforto pela janela.
Pertence à família das geometrias não euclidianas. Não apenas ajusta os axiomas de Euclides. Isso os quebra. Especificamente, rejeita completamente o quinto postulado. E modifica o segundo.
O quinto postulado de Euclides diz o seguinte: siga uma linha. Escolha um ponto que não esteja nessa linha. Desenhe uma linha através desse ponto paralela ao original. Existe apenas uma dessas linhas.
A geometria Riemanniana diz não. Não existem linhas paralelas. Zero. Quaisquer duas linhas retas eventualmente se cruzarão.
O segundo postulado é sobre extensão. Euclides afirmou que uma linha reta finita poderia ser estendida indefinidamente. Riemann permite a extensão. Mas aqui está o problema. Todas as linhas retas são finitas. Eles voltam para si mesmos. Eles têm um comprimento fixo.
Isto não é apenas ginástica teórica. Descreve um espaço com curvatura positiva. Pense na superfície de uma esfera.
A matemática por trás da curva
Para entender por que isso é importante, você precisa observar o que acontece com as formas básicas.
Na geometria euclidiana, os ângulos de um triângulo somam 180 graus. Dois ângulos retos. Isso é uma regra.
Na geometria Riemanniana, essa regra falha. A soma dos ângulos de um triângulo é sempre maior que 180 graus. Quanto mais curvatura você tiver, maior será a soma.
Linhas paralelas não existem nesta estrutura. No espaço euclidiano, as linhas paralelas são equidistantes em todos os lugares. Eles nunca se tocam. No espaço elíptico – um subconjunto da geometria Riemanniana – eles nem existem. Cada linha cruza todas as outras linhas.
Polígonos semelhantes também se comportam de maneira diferente. Em um espaço plano, você pode ter dois quadrados de tamanhos diferentes. Eles são semelhantes. Eles têm os mesmos ângulos e lados proporcionais. Na geometria Riemanniana, isso é impossível. Se os ângulos forem iguais, o tamanho é fixo. Você não pode dimensionar uma forma sem alterar seus ângulos.
A maioria dos teoremas da geometria euclidiana simplesmente não se aplica aqui. Existe alguma sobreposição. Mas as suposições básicas desapareceram.
Uma história de dimensões ocultas
A história da geometria não-euclidiana começa por volta de 1830. Matemáticos como Gauss, Bolyai e Lobachevsky publicavam os primeiros trabalhos. Eles estavam explorando a geometria hiperbólica. Esta versão possui curvatura negativa. É o oposto da curvatura positiva de Riemann.
Bernhard Riemann não viu esses primeiros artigos. Ele trabalhou isolado.
Em 1866, Riemann pegou o conceito de espaço curvo e o expandiu. Ele passou de duas dimensões para três e depois para n dimensões. Ele criou a estrutura matemática para um espaço que poderia curvar-se em qualquer direção.
Seu trabalho lançou as bases para a relatividade geral de Einstein. Sem a geometria Riemanniana, não teríamos matemática para descrever a gravidade como a curvatura do espaço-tempo.
Mais tarde, Felix Klein refinou a classificação. Ele distinguiu entre espaço polar e espaço antípoda. Estas são variações dentro da geometria elíptica.
