Евклідова геометрія зручна. Це геометрія плоских листів та прямих ліній. Вона передбачає, що ви можете проводити лінію нескінченно у будь-якому напрямку. Вона передбачає, що паралельні лінії залишаються паралельними завжди.
Ріманова геометрія викидає цю зручність за борт.
Вона належить до сімейства неевклідових геометрій. Вона не просто коригує аксіоми Евкліда. Вона їх порушує. Зокрема вона повністю відкидає п’ятий постулат. І зраджує другий.
П’ятий постулат Евкліда свідчить таке: візьміть пряму. Виберіть точку, що не лежить на цій прямій. Проведіть через цю точку пряму, паралельну до вихідної. Існує лише одна така пряма.
Ріманова геометрія каже “ні”. Паралельних ліній немає. Нуль. Будь-які дві прямі лінії зрештою перетнуться.
Другий постулат стосується продовження. Евклід стверджував, що кінцеву пряму можна продовжувати. Ріман припускає продовження. Але ось у чому проблема. Усі прямі лінії кінцеві. Вони замикаються на себе. Вони мають фіксовану довжину.
Це не просто теоретичні гімнастики. Це описує простір із позитивною кривизною. Уявіть собі поверхню сфери.
Математика за кривизною
Щоб зрозуміти чому це важливо, потрібно подивитися на те, що відбувається з базовими фігурами.
У евклідовій геометрії сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів. Два прямі кути. Це правило.
У риманової геометрії це правило не працює. Сума кутів трикутника завжди більша за 180 градусів. Чим більша кривизна, тим більше стає ця сума.
Паралельні лінії у цій системі не існують. У евклідовому просторі паралельні лінії усюди рівновіддалені. Вони ніколи не перетинаються. В еліптичному просторі – підмножині риманової геометрії – їх не існує взагалі. Кожна пряма перетинає будь-яку іншу пряму.
Подібні багатокутники поводяться інакше. У плоскому просторі можна мати два квадрати різного розміру. Вони подібні. У них однакові кути та пропорційні сторони. У риманової геометрії це неможливо. Якщо кути однакові, то розмір фіксований. Ви не можете масштабувати фігуру, не змінюючи її кути.
Більшість теорем евклідової геометрії тут просто не можна застосувати. Деякі перетину існують. Але базові припущення зникли.
Історія прихованих вимірів
Історія неевклідової геометрії починається приблизно 1830 року. Такі математики, як Гаусс, Бойяї та Лобачевський, публікували ранні роботи. Вони досліджували гіперболічну геометрію. Ця версія має негативну кривизну. Вона протилежна позитивній кривизні Рімана.
Бернхард Ріман не бачив цих ранніх робіт. Він працював у ізоляції.
В 1866 Ріман взяв концепцію викривленого простору і розширив її. Він перейшов від двох вимірів до трьох, а потім до n-мірного простору. Він створив математичну основу для простору, який може викривлятися у будь-якому напрямку.
Його робота заклала фундамент для загальної теорії відносності Ейнштейна. Без ріманової геометрії ми не мали б математики для опису гравітації як викривлення простору-часу.
Згодом Фелікс Клейн уточнив класифікацію. Він розділив полярний простір та антиподальний простір. Це варіації усередині еліптичної геометрії.
