Евклидова геометрия удобна. Это геометрия плоских листов и прямых линий. Она предполагает, что вы можете проводить линию бесконечно в любом направлении. Она предполагает, что параллельные линии остаются параллельными всегда.
Риманова геометрия выбрасывает это удобство за борт.
Она принадлежит к семейству неевклидовых геометрий. Она не просто корректирует аксиомы Евклида. Она их нарушает. В частности, она полностью отвергает пятый постулат. И изменяет второй.
Пятый постулат Евклида гласит следующее: возьмите прямую. Выберите точку, не лежащую на этой прямой. Проведите через эту точку прямую, параллельную исходной. Существует только одна такая прямая.
Риманова геометрия говорит «нет». Параллельных линий не существует. Ноль. Любые две прямые линии в конечном итоге пересекутся.
Второй постулат касается продолжения. Евклид утверждал, что конечную прямую можно бесконечно продолжать. Риман допускает продолжение. Но вот в чём загвоздка. Все прямые линии конечны. Они замыкаются сами на себя. Они имеют фиксированную длину.
Это не просто теоретические гимнастики. Это описывает пространство с положительной кривизной. Представьте себе поверхность сферы.
Математика за кривизной
Чтобы понять, почему это важно, нужно посмотреть на то, что происходит с базовыми фигурами.
В евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180 градусам. Два прямых угла. Это правило.
В римановой геометрии это правило не работает. Сумма углов треугольника всегда больше 180 градусов. Чем больше кривизна, тем больше становится эта сумма.
Параллельные линии в этой системе не существуют. В евклидовом пространстве параллельные линии всюду равноудалены. Они никогда не пересекаются. В эллиптическом пространстве — подмножестве римановой геометрии — их не существует вообще. Каждая прямая пересекает любую другую прямую.
Подобные многоугольники ведут себя иначе. В плоском пространстве можно иметь два квадрата разного размера. Они подобны. У них одинаковые углы и пропорциональные стороны. В римановой геометрии это невозможно. Если углы одинаковы, то и размер фиксирован. Вы не можете масштабировать фигуру, не изменяя её углы.
Большинство теорем евклидовой геометрии здесь просто не применимы. Некоторые пересечения существуют. Но базовые предположения исчезли.
История скрытых измерений
История неевклидовой геометрии начинается примерно в 1830 году. Такие математики, как Гаусс, Бойяи и Лобачевский, публиковали ранние работы. Они исследовали гиперболическую геометрию. Эта версия имеет отрицательную кривизну. Она противоположна положительной кривизне Римана.
Бернхард Риман не видел этих ранних работ. Он работал в изоляции.
В 1866 году Риман взял концепцию искривлённого пространства и расширил её. Он перешёл от двух измерений к трём, а затем к n-мерному пространству. Он создал математическую основу для пространства, которое может искривляться в любом направлении.
Его работа заложила фундамент для общей теории относительности Эйнштейна. Без римановой геометрии у нас не было бы математики для описания гравитации как искривления пространства-времени.
Позже Феликс Клейн уточнил классификацию. Он разделил полярное пространство и антиподальное пространство. Это вариации внутри эллиптической геометрии.
