La géométrie euclidienne est confortable. C’est la géométrie des feuilles plates et des lignes droites. Cela suppose que vous pouvez tracer une ligne infinie dans n’importe quelle direction. Cela suppose que les lignes parallèles restent toujours parallèles.
La géométrie riemannienne jette ce confort par la fenêtre.
Elle appartient à la famille des géométries non euclidiennes. Cela ne modifie pas seulement les axiomes d’Euclide. Cela les brise. Plus précisément, il rejette catégoriquement le cinquième postulat. Et cela modifie le second.
Le cinquième postulat d’Euclide dit ceci : prendre une ligne. Choisissez un point qui ne se trouve pas sur cette ligne. Tracez une ligne passant par ce point parallèle à l’original. Une seule de ces lignes existe.
La géométrie riemannienne dit non. Il n’y a pas de lignes parallèles. Zéro. Deux lignes droites finiront par se croiser.
Le deuxième postulat concerne l’extension. Euclide affirmait qu’une ligne droite finie pouvait être étendue indéfiniment. Riemann autorise la prolongation. Mais voici le piège. Toutes les lignes droites sont finies. Ils se replient sur eux-mêmes. Ils ont une longueur fixe.
Il ne s’agit pas seulement de gymnastique théorique. Il décrit un espace à courbure positive. Pensez à la surface d’une sphère.
Les mathématiques derrière la courbe
Pour comprendre pourquoi c’est important, vous devez regarder ce qui arrive aux formes de base.
En géométrie euclidienne, la somme des angles d’un triangle fait 180 degrés. Deux angles droits. C’est une règle.
En géométrie riemannienne, cette règle échoue. La somme des angles d’un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Plus vous avez de courbure, plus cette somme augmente.
Les lignes parallèles n’existent pas dans ce cadre. Dans l’espace euclidien, les droites parallèles sont partout équidistantes. Ils ne se touchent jamais. Dans l’espace elliptique – un sous-ensemble de la géométrie riemannienne – ils n’existent pas du tout. Chaque ligne coupe toutes les autres lignes.
Des polygones similaires se comportent également différemment. Dans un espace plat, vous pouvez avoir deux carrés de tailles différentes. Ils sont similaires. Ils ont les mêmes angles et côtés proportionnels. En géométrie riemannienne, cela est impossible. Si les angles sont les mêmes, la taille est fixe. Vous ne pouvez pas redimensionner une forme sans modifier ses angles.
La plupart des théorèmes de la géométrie euclidienne ne s’appliquent tout simplement pas ici. Il existe un certain chevauchement. Mais les hypothèses fondamentales ont disparu.
Une histoire de dimensions cachées
L’histoire de la géométrie non euclidienne commence vers 1830. Des mathématiciens comme Gauss, Bolyai et Lobachevsky publiaient leurs premiers travaux. Ils exploraient la géométrie hyperbolique. Cette version a une courbure négative. C’est l’opposé de la courbure positive de Riemann.
Bernhard Riemann n’a pas vu ces premiers articles. Il travaillait isolément.
En 1866, Riemann reprend le concept d’espace courbe et l’étend. Il est passé de deux dimensions à trois dimensions, puis à n dimensions. Il a créé le cadre mathématique d’un espace pouvant se courber dans n’importe quelle direction.
Son travail a jeté les bases de la relativité générale d’Einstein. Sans la géométrie riemannienne, nous n’aurions pas les mathématiques nécessaires pour décrire la gravité comme la courbure de l’espace-temps.
Plus tard, Felix Klein a affiné la classification. Il fait la distinction entre l’espace polaire et l’espace antipodal. Ce sont des variations au sein de la géométrie elliptique.
