Geometria euklidesowa jest wygodna. Jest to geometria płaskich arkuszy i linii prostych. Zakłada, że możesz narysować linię w nieskończoność w dowolnym kierunku. Zakłada, że linie równoległe zawsze pozostają równoległe.
Geometria Riemanna wyrzuca tę wygodę za burtę.
Należy do rodziny geometrii nieeuklidesowych. Nie koryguje to po prostu aksjomatów Euklidesa. Ona je łamie. W szczególności całkowicie odrzuca piąty postulat. A ten drugi oszukuje.
Piąty postulat Euklidesa głosi: Wybierz linię prostą. Wybierz punkt nie leżący na tej linii. Narysuj linię prostą przechodzącą przez ten punkt, równolegle do pierwotnego. Jest tylko jedna taka linia prosta.
Geometria riemannowska mówi nie. Nie ma linii równoległych. Zero. Dowolne dwie linie proste w końcu się przetną.
Drugi postulat dotyczy kontynuacji. Euklides twierdził, że skończoną linię prostą można ciągnąć w nieskończoność. Riemann pozwala na kontynuację. Ale tu jest problem. Wszystkie linie proste są skończone. Zwracają się przeciwko sobie. Mają stałą długość.
To nie tylko gimnastyka teoretyczna. Opisuje to przestrzeń o dodatniej krzywiźnie. Wyobraź sobie powierzchnię kuli.
Matematyka kryjąca się za krzywizną
Aby zrozumieć, dlaczego jest to ważne, należy przyjrzeć się temu, co dzieje się z podstawowymi kształtami.
W geometrii euklidesowej suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni. Dwa kąty proste. To jest zasada.
W geometrii riemannowskiej zasada ta nie działa. Suma kątów w trójkącie jest zawsze większa niż 180 stopni. Im większa krzywizna, tym większa staje się ta wielkość.
W tym systemie linie równoległe nie istnieją. W przestrzeni euklidesowej linie równoległe są wszędzie w jednakowej odległości. Nigdy się nie przecinają. W przestrzeni eliptycznej – podzbiorze geometrii Riemanna – w ogóle ich nie ma. Każda linia przecina każdą inną linię.
Takie wielokąty zachowują się inaczej. Na płaskiej przestrzeni możesz mieć dwa kwadraty o różnych rozmiarach. Są podobni. Mają te same kąty i proporcjonalne boki. W geometrii Riemanna jest to niemożliwe. Jeśli kąty są takie same, rozmiar jest stały. Nie można skalować kształtu bez zmiany jego kątów.
Większość twierdzeń geometrii euklidesowej po prostu nie ma tu zastosowania. Istnieją pewne przypadki nakładania się. Ale podstawowe założenia zniknęły.
Historia ukrytych wymiarów
Historia geometrii nieeuklidesowej rozpoczyna się około 1830 roku. Matematycy tacy jak Gauss, Bolyai i Lobachevsky opublikowali wczesne prace. Badali geometrię hiperboliczną. Ta wersja ma ujemną krzywiznę. Jest to przeciwieństwo dodatniej krzywizny Riemanna.
Bernhard Riemann nie widział tych wczesnych dzieł. Pracował w izolacji.
W 1866 roku Riemann przyjął koncepcję zakrzywionej przestrzeni i rozszerzył ją. Przeszedł z dwóch wymiarów do trzech, a następnie do przestrzeni n-wymiarowej. Stworzył matematyczną podstawę przestrzeni, która może zaginać się w dowolnym kierunku.
Jego prace położyły podwaliny pod ogólną teorię względności Einsteina. Bez geometrii Riemanna nie mielibyśmy matematyki pozwalającej opisać grawitację jako krzywiznę czasoprzestrzeni.
Felix Klein później wyjaśnił klasyfikację. Podzielił przestrzeń polarną i przestrzeń antypodalną. Są to różnice w geometrii eliptycznej.
