Geometri Euclidean nyaman. Ini adalah geometri lembaran datar dan garis lurus. Ini mengasumsikan Anda dapat menarik garis selamanya ke segala arah. Ini mengasumsikan garis sejajar selalu sejajar.
Geometri Riemann membuang kenyamanan itu ke luar jendela.
Ia termasuk dalam keluarga geometri non-Euclidean. Ini tidak hanya mengubah aksioma Euclid. Itu menghancurkan mereka. Secara khusus, ia menolak secara langsung postulat kelima. Dan itu mengubah yang kedua.
Postulat kelima Euclid mengatakan ini: ambil garis. Pilih titik yang bukan pada garis tersebut. Tariklah garis melalui titik tersebut sejajar dengan titik asal. Hanya ada satu jalur seperti itu.
Geometri Riemannian mengatakan tidak. Tidak ada garis sejajar. Nol. Dua garis lurus mana pun pada akhirnya akan berpotongan.
Postulat kedua adalah tentang ekstensi. Euclid menyatakan bahwa garis lurus berhingga dapat diperpanjang tanpa batas. Riemann mengizinkan perpanjangan. Tapi inilah hasil tangkapannya. Semua garis lurus berhingga. Mereka kembali pada diri mereka sendiri. Mereka memiliki panjang yang tetap.
Ini bukan hanya senam teoretis. Ini menggambarkan ruang dengan kelengkungan positif. Bayangkan permukaan sebuah bola.
Matematika di Balik Kurva
Untuk memahami mengapa hal ini penting, Anda harus melihat apa yang terjadi pada bentuk dasar.
Dalam geometri Euclidean, sudut-sudut suatu segitiga berjumlah 180 derajat. Dua sudut siku-siku. Itu adalah sebuah aturan.
Dalam geometri Riemann, aturan tersebut gagal. Jumlah sudut dalam suatu segitiga selalu lebih besar dari 180 derajat. Semakin banyak kelengkungan yang Anda miliki, semakin besar jumlahnya.
Garis paralel tidak ada dalam kerangka ini. Di ruang Euclidean, garis-garis sejajar di mana-mana berjarak sama. Mereka tidak pernah menyentuh. Dalam ruang elips—bagian dari geometri Riemann—mereka tidak ada sama sekali. Setiap garis memotong setiap garis lainnya.
Poligon serupa juga berperilaku berbeda. Di ruang datar, Anda dapat memiliki dua kotak dengan ukuran berbeda. Mereka serupa. Mereka mempunyai sudut dan sisi yang sebanding. Dalam geometri Riemannian, hal ini tidak mungkin. Jika sudut-sudutnya sama, maka besarnya tetap. Anda tidak dapat menskalakan suatu bentuk tanpa mengubah sudutnya.
Kebanyakan teorema geometri Euclidean tidak berlaku di sini. Ada beberapa hal yang tumpang tindih. Namun asumsi inti telah hilang.
Sejarah Dimensi Tersembunyi
Kisah geometri non-Euclidean dimulai sekitar tahun 1830. Matematikawan seperti Gauss, Bolyai, dan Lobachevsky menerbitkan karya-karya awal. Mereka mengeksplorasi geometri hiperbolik. Versi ini memiliki kelengkungan negatif. Ini kebalikan dari kelengkungan positif Riemann.
Bernhard Riemann tidak melihat makalah awal tersebut. Dia bekerja secara terisolasi.
Pada tahun 1866, Riemann mengambil konsep ruang melengkung dan memperluasnya. Dia berpindah dari dua dimensi ke tiga, dan kemudian ke n-dimensi. Dia menciptakan kerangka matematis untuk ruang yang bisa melengkung ke segala arah.
Karyanya meletakkan dasar bagi relativitas umum Einstein. Tanpa geometri Riemannian, kita tidak akan memiliki kemampuan matematika untuk menggambarkan gravitasi sebagai kelengkungan ruang-waktu.
Belakangan, Felix Klein menyempurnakan klasifikasinya. Ia membedakan antara ruang kutub dan ruang antipodal. Ini adalah variasi dalam geometri elips.
