Se você já leu um livro de matemática e sentiu como se estivesse lendo um idioma diferente, não está sozinho. A álgebra abstrata pode parecer uma parede de símbolos. Mas anel em matemática não é tão intimidante quanto parece. Basicamente, um anel é apenas um conjunto de números com algumas regras específicas sobre como eles se comportam. É uma estrutura que ajuda os matemáticos a compreender padrões além da simples aritmética.
Pense em um anel como um recipiente. Dentro deste contêiner, você tem elementos. Esses elementos podem ser números, mas também podem ser matrizes, polinômios ou outros objetos complexos. A chave é que estes elementos devem seguir um conjunto estrito de leis operacionais. Sem essas leis, a estrutura entra em colapso.
As regras do jogo
Para se qualificar como um anel, um conjunto deve satisfazer diversas condições não negociáveis. Estas não são sugestões. Eles são a base.
Primeiro, observe a adição. Tem que ser comutativo. Isso significa que a ordem não importa. Se você adicionar a e b, obterá o mesmo resultado que adicionar b e a. Também tem que ser associativo. O agrupamento não altera o resultado. Adicionar a à soma de b e c é o mesmo que adicionar a soma de a e b a c.
“Um anel é um conjunto com operações de adição e multiplicação que seguem regras algébricas específicas, incluindo comutatividade para adição e distributividade entre as duas operações.”
Mas só a adição não é suficiente. Deve haver um elemento zero. Esta é a identidade da adição. Adicionar zero a qualquer coisa deixa tudo inalterado. Além disso, todo elemento deve ter um negativo. Quando você adiciona um elemento ao seu negativo, você volta a zero. Isso garante que a subtração seja sempre possível dentro do anel.
Multiplicação e Distribuição
A multiplicação entra em cena com seu próprio conjunto de restrições. Deve ser associativo. Assim como a adição, a forma como você agrupa a multiplicação não afeta o produto final. a multiplicado por (b vezes c ) é igual a (a vezes b ) vezes c.
O elo mais crítico entre adição e multiplicação é a distributividade. Esta lei conecta as duas operações. Afirma que a vezes (b mais c ) é igual a ab mais ac. Há também uma segunda lei distributiva para multiplicação no lado direito: (a mais b ) vezes c é igual a ac mais bc. Essas leis garantem que a estrutura permaneça consistente e previsível.
Observe que um anel não requer multiplicação para ser comutativo. Em alguns anéis, ab pode não ser igual a ba. Quando a multiplicação é comutativa, nós a chamamos de anel comutativo. Esta distinção é importante na matemática avançada, mas para a maioria das aplicações básicas, as regras mais simples são suficientes.
O exemplo inteiro
Qual é o exemplo mais simples de anel? Provavelmente é algo que você aprendeu na escola primária. O conjunto de inteiros, representado pelo símbolo ℤ, forma um anel. Este conjunto inclui todos os números inteiros e seus negativos:…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….
Vamos testar as regras. Adicione quaisquer dois números inteiros e você obterá um número inteiro. A adição é comum
