La geometría euclidiana es cómoda. Es la geometría de láminas planas y líneas rectas. Se supone que puedes trazar una línea para siempre en cualquier dirección. Se supone que las líneas paralelas permanecen paralelas, siempre.
La geometría de Riemann arroja esa comodidad por la ventana.
Pertenece a la familia de las geometrías no euclidianas. No sólo modifica los axiomas de Euclides. Los rompe. En concreto, rechaza de plano el quinto postulado. Y modifica el segundo.
El quinto postulado de Euclides dice esto: traza una línea. Elija un punto que no esté en esa línea. Dibuja una línea que pase por ese punto paralela al original. Sólo existe una línea de este tipo.
La geometría riemanniana dice que no. No hay líneas paralelas. Cero. Cualquiera de las dos líneas rectas eventualmente se cruzará.
El segundo postulado se refiere a la extensión. Euclides afirmó que una línea recta finita podía extenderse indefinidamente. Riemann permite la prórroga. Pero aquí está el truco. Todas las líneas rectas son finitas. Vuelven sobre sí mismos. Tienen una longitud fija.
Esto no es sólo gimnasia teórica. Describe un espacio con curvatura positiva. Piense en la superficie de una esfera.
Las matemáticas detrás de la curva
Para entender por qué esto es importante, hay que observar lo que sucede con las formas básicas.
En geometría euclidiana, los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Dos ángulos rectos. Esa es una regla.
En la geometría de Riemann, esa regla falla. La suma de los ángulos de un triángulo siempre es mayor que 180 grados. Cuanta más curvatura tengas, mayor será esa suma.
En este marco no existen líneas paralelas. En el espacio euclidiano, las líneas paralelas son equidistantes en todas partes. Nunca se tocan. En el espacio elíptico (un subconjunto de la geometría riemanniana) no existen en absoluto. Cada línea se cruza con todas las demás líneas.
Los polígonos similares también se comportan de manera diferente. En un espacio plano, puedes tener dos cuadrados de diferentes tamaños. Son similares. Tienen los mismos ángulos y lados proporcionales. En la geometría de Riemann esto es imposible. Si los ángulos son iguales, el tamaño es fijo. No se puede escalar una forma sin cambiar sus ángulos.
La mayoría de los teoremas de la geometría euclidiana simplemente no se aplican aquí. Existe cierta superposición. Pero los supuestos centrales han desaparecido.
Una historia de dimensiones ocultas
La historia de la geometría no euclidiana comienza alrededor de 1830. Matemáticos como Gauss, Bolyai y Lobachevsky publicaron sus primeros trabajos. Estaban explorando la geometría hiperbólica. Esta versión tiene curvatura negativa. Es lo opuesto a la curvatura positiva de Riemann.
Bernhard Riemann no vio esos primeros artículos. Trabajó de forma aislada.
En 1866, Riemann tomó el concepto de espacio curvo y lo amplió. Pasó de dos dimensiones a tres, y luego a n dimensiones. Creó el marco matemático para un espacio que podía curvarse en cualquier dirección.
Su trabajo sentó las bases para la relatividad general de Einstein. Sin la geometría de Riemann, no tendríamos las matemáticas para describir la gravedad como la curvatura del espacio-tiempo.
Posteriormente, Felix Klein perfeccionó la clasificación. Distinguió entre espacio polar y espacio antípoda. Estas son variaciones dentro de la geometría elíptica.
