Euklidovská geometrie je vhodná. Toto je geometrie plochých plechů a přímek. Předpokládá, že můžete kreslit čáru neomezeně libovolným směrem. Předpokládá, že rovnoběžné čáry vždy zůstanou rovnoběžné.
Riemannovská geometrie hází tuto vymoženost přes palubu.
Patří do rodiny neeuklidovských geometrií. Neopravuje pouze Euklidovy axiomy. Rozbije je. Zejména zcela odmítá pátý postulát. A ten druhý podvádí.
Euklidův pátý postulát říká: Vezměte přímku. Vyberte bod, který není na této čáře. Nakreslete přímku přes tento bod rovnoběžnou s původním bodem. Existuje pouze jedna taková přímka.
Riemannovská geometrie říká ne. Neexistují žádné paralelní čáry. Nula. Jakékoli dvě přímky se nakonec protnou.
Druhý postulát se týká pokračování. Euclid tvrdil, že konečná přímka může pokračovat donekonečna. Riemann umožňuje pokračování. Ale tady je ten háček. Všechny přímky jsou konečné. Otáčejí se na sebe. Mají pevnou délku.
Nejde jen o teoretickou gymnastiku. To popisuje prostor s pozitivním zakřivením. Představte si povrch koule.
Matematika za zakřivením
Abyste pochopili, proč je to důležité, musíte se podívat, co se děje se základními tvary.
V euklidovské geometrii je součet úhlů trojúhelníku 180 stupňů. Dva pravé úhly. Toto je pravidlo.
V Riemannově geometrii toto pravidlo nefunguje. Součet úhlů trojúhelníku je vždy větší než 180 stupňů. Čím větší je zakřivení, tím větší je toto množství.
Paralelní čáry v tomto systému neexistují. V euklidovském prostoru jsou rovnoběžné čáry všude stejně vzdálené. Nikdy se nekříží. V eliptickém prostoru – podmnožině Riemannovy geometrie – vůbec neexistují. Každá čára protíná každou druhou čáru.
Takové polygony se chovají odlišně. V rovném prostoru můžete mít dva čtverce různých velikostí. Jsou si podobné. Mají stejné úhly a proporcionální strany. V Riemannově geometrii je to nemožné. Pokud jsou úhly stejné, pak je velikost pevná. Nemůžete změnit měřítko tvaru, aniž byste změnili jeho úhly.
Většina teorémů euklidovské geometrie zde prostě neplatí. Existují určité překryvy. Ale základní předpoklady zmizely.
Historie skrytých dimenzí
Historie neeuklidovské geometrie začíná kolem roku 1830. Matematici jako Gauss, Bolyai a Lobachevsky publikovali rané práce. Studovali hyperbolickou geometrii. Tato verze má negativní zakřivení. Je opakem pozitivního Riemannova zakřivení.
Bernhard Riemann tato raná díla neviděl. Pracoval v izolaci.
V roce 1866 Riemann převzal koncept zakřiveného prostoru a rozšířil jej. Přešel ze dvou dimenzí do tří a poté do n-rozměrného prostoru. Vytvořil matematický základ pro prostor, který se mohl ohýbat libovolným směrem.
Jeho práce položila základ Einsteinově obecné teorii relativity. Bez Riemannovy geometrie bychom neměli matematiku k popisu gravitace jako zakřivení časoprostoru.
Felix Klein později klasifikaci upřesnil. Rozdělil polární prostor a antipodální prostor. Jedná se o variace v rámci eliptické geometrie.
