Pokud jste někdy otevřeli učebnici matematiky a měli pocit, že čtete v jiném jazyce, nejste sami. Abstraktní algebra se může zdát jako zeď symbolů. Nicméně prsten v matematice není tak děsivý, jak to zní. Ve svém jádru je prsten jednoduše soubor čísel s určitými pravidly pro jejich chování. Je to struktura, která pomáhá matematikům porozumět vzorcům nad rámec jednoduché aritmetiky.
Představte si prsten jako nádobu. Uvnitř tohoto kontejneru jsou prvky. Tyto prvky mohou být čísla, ale mohou také představovat matice, polynomy nebo jiné složité objekty. Hlavní věc je, že tyto prvky dodržují přísný soubor provozních zákonů. Bez těchto zákonů se struktura zhroutí.
Pravidla hry
Aby mohla být množina nazývána prstenem, musí splňovat několik neměnných podmínek. To nejsou doporučení, ale základ.
Nejprve se podívejme na sčítání. Musí být komutativní. To znamená, že na pořadí nezáleží. Pokud přidáte a a b, dostanete stejný výsledek, jako byste přidali b a a. Musí být také asociativní. Seskupení nemění výsledek. Přidání a k součtu b a c je ekvivalentní sečtení součtu a a b k c.
“Prstenec je množina s operacemi sčítání a násobení, které se řídí určitými algebraickými pravidly, včetně komutativnosti sčítání a distributivity mezi těmito dvěma operacemi.”
Samotné sčítání ale nestačí. Musí existovat nulový prvek. Toto je neutrální prvek pro přidání. Přidání nuly k čemukoli toto číslo nezmění. Navíc každý prvek musí mít protiklad (zápor). Když přidáte prvek k jeho protikladu, vrátíte se na nulu. To zajišťuje, že odečítání je vždy možné uvnitř prstenu.
Násobení a distributivita
Násobení přichází do hry s vlastní sadou omezení. Musí být asociativní. Stejně jako u sčítání nemá způsob, jakým seskupujete násobení, vliv na konečný výsledek. a krát (b krát c ) se rovná (a krát b ) krát c.
Nejdůležitějším spojením mezi sčítáním a násobením je distributivita. Tento zákon spojuje dvě operace. Uvádí, že a krát (b plus c ) se rovná ab plus ac. Existuje také druhý distributivní zákon pro násobení vpravo: (a plus b ) krát c se rovná ac plus bc. Tyto zákony zajišťují konzistenci a předvídatelnost struktury.
Všimněte si, že prsten nevyžaduje komutativní násobení. V některých kruzích se ab nemusí rovnat ba. Když je násobení komutativní, nazýváme takový kroužek komutativní kroužek. Tento rozdíl je důležitý v pokročilé matematice, ale pro většinu základních aplikací stačí jednodušší pravidla.
Příklad celých čísel
Jaký je nejjednodušší příklad prstenu? To vás asi učili na základní škole. Množina celých čísel, označená symbolem ℤ, tvoří kruh. Tato sada obsahuje všechna celá čísla a jejich záporné hodnoty: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
Pojďme zkontrolovat pravidla. Sečtěte libovolná dvě celá čísla a dostanete celé číslo. Přidání dojížděk
