Mnożenie to coś więcej niż tylko znajomość tabliczki mnożenia. Ta operacja polega na pobieraniu dwóch lub więcej liczb (takich jak 3 × 4 lub 15 × 20) i mnożeniu ich. Jeśli jednak chcesz pomnażać się szybciej i przy mniejszym wysiłku, musisz zrozumieć zasady tych operacji.
To są właściwości mnożenia. Nie są to arbitralne zasady. Oto podstawowe zasady, dzięki którym matematyka jest skuteczna.
Musisz wiedzieć, co następuje:
- prawo przemienne
- własność asocjacyjna
- własność rozdzielcza
- wspólna cecha czynnika
- właściwość identycznego (neutralnego) elementu
- właściwość zera (element pochłaniający)
- właściwość zamknięcia
Przyjrzyjmy się im. Bez dodatkowej wody. Tylko jasne przykłady i sposoby ich wykorzystania.
Właściwość przemienna
Jest to najłatwiejsze w użyciu. Kolejność liczb nie zmienia wyniku.
3 × 4 = 4 × 3 = 12
Niezależnie od tego, czy postrzegasz 4 jako 3 zestawy, czy 3 jako 4 zestawy, ogólny wynik jest taki sam. Należy to wziąć pod uwagę podczas wykonywania obliczeń. Prawdopodobnie wygodniej jest Ci mnożyć 4 przez 8 niż 8 przez 4. Skorzystaj z tego. Odpowiedź nadal będzie wynosić 32.
Właściwość zespolona
Zmienia się grupowanie liczb. Odpowiedź pozostaje taka sama.
Jeśli masz wyrażenie (2 × 3) × 4, najpierw pomnóż 2 przez 3 (otrzymując 6), a następnie pomnóż wynik przez 4 (otrzymując 24).
Jeśli jednak chcesz obliczyć 2 × (3 × 4), najpierw pomnóż 3 przez 4 (otrzymujesz 12), a następnie pomnóż wynik przez 2 (otrzymujesz 24).
Dlaczego jest to przydatne? Dzięki temu możesz wybrać najłatwiejszą ścieżkę. Kiedy zobaczysz wyrażenie 2 × 5 × 2, połącz dwójki. 2 × 2 = 4. Następnie 4 × 5 = 20. Jeśli nie będziesz ostrożny, obliczenia od lewej do prawej zajmą znacznie więcej czasu.
Własność rozdzielcza
Jest to połączenie algebry i arytmetyki. Możesz podzielić jedną liczbę przez sumę lub różnicę w nawiasach.
Rozważmy 5 × (10 + 2).
Nie musisz najpierw dodawać 10 i 2 (chociaż możesz najpierw dodać je, aby otrzymać 12, a następnie pomnożyć przez 5). Można także rozwinąć nawiasy.
(5 × 10) + (5 × 2)
50 + 10 = 60
Rezultat jest taki sam. Ta cecha jest bardzo ważna dla obliczeń mentalnych. Nadal masz problemy z 7×9? Przerwij 9 na 10 – 1.
7 × (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
To umiejętność, którą warto opanować.
Wspólna właściwość czynnika
Jest to zasadniczo rozkład odwrotny. Poszukaj liczby występującej w każdym wyrazie.
Przykład: 6 × 8 + 6 × 2.
Czy widzisz szóstkę w obu terminach? Wyjmij to z nawiasów.
6 × (8 + 2)
6 × 10 = 60
Upraszcza to złożone wyrażenia. Jeśli chcesz później uprościć równanie algebraiczne, tak jest
Kiedy uczysz dzieci matematyki lub po prostu próbujesz sobie przypomnieć, dlaczego w szkole uczono Cię pewnych zasad, terminologia może wydawać się nudna. Jednak te właściwości są w rzeczywistości skrótami. Oszczędzają czas. Zmniejsz liczbę błędów. Pomogą ci zrozumieć, jak działają liczby, zanim jeszcze weźmiesz długopis do ręki.
Zobaczmy jak to działa w praktyce. Zrozumienie „dlaczego” to działa ułatwia zastosowanie tych zasad w zadaniach domowych i sytuacjach z życia codziennego.
Sortowanie liczb: prawo przemienności
Przemienne prawo mnożenia jest proste. Odpowiedź nie zmienia się w zależności od kolejności liczb.
Weź 2 razy 3. Wynik to 6. Teraz odwróć kolejność. 3 razy 2 też równa się 6.
Dotyczy to również sytuacji, gdy istnieją trzy lub więcej liczb. Wynik mnożenia 2, 4 i 5 wynosi zawsze 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Nieważne, ile razy zmienisz kolejność, element pozostanie taki sam. Jest to przydatne, jeśli chcesz sobie ułatwić życie. Być może 5 razy 2 jest łatwiejsze niż 2 razy 5. Matematyka nie ma znaczenia. Robisz to, co jest dla Ciebie najwygodniejsze.
Grupowanie liczb: właściwość asocjacyjna
Właściwość przemienna umożliwia zmianę kolejności liczb, natomiast właściwość asocjacyjna umożliwia grupowanie liczb.
Ma to zastosowanie tylko wtedy, gdy istnieją trzy lub więcej mnożników. Oznacza to, że zmiana nawiasów nie zmienia wyniku.
Spójrz na to obliczenie: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Można je grupować na różne sposoby.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
Kolejność czynników jest nadal ważna w przypadku reguł przemienności, ale grupowanie jest ważne w przypadku stosowania reguły asocjacji. Obydwa prowadzą do tej samej odpowiedzi. Dlatego możesz rozwiązywać złożone problemy z mnożeniem w dowolnej kolejności operacji, nie martwiąc się o łamanie równań.
Dodawanie i odejmowanie: własność rozdzielności
Chociaż właściwość rozdzielności często stanowi dla uczniów największe wyzwanie, jest także jednym z najpotężniejszych narzędzi. Pokazuje, że mnożąc liczbę przez sumę, należy pomnożyć każdą część osobno, a następnie dodać wyniki.
Załóżmy na przykład 2 x (3 + 4).
Standardowa procedura jest następująca:
2×7 = 14
Jednak korzystając z własności rozdzielności:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Ta sama odpowiedź. Różne ścieżki.
Dotyczy to wszystkich członków w nawiasach. Można go również używać do odejmowania.
Spróbuj 2x (3 – 4 + 5).
Najpierw rozwiąż liczby w nawiasach: 3 – 4 + 5 = 4.
Wtedy 2×4=8.
Teraz rozwiń nawiasy:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
To niezawodny sposób na podzielenie dużych, mylących liczb na łatwe do zarządzania części. Jeśli pomagasz swojemu dziecku w odrabianiu zadań domowych, uzna wyjaśnienie za mniej abstrakcyjne, gdy pokażesz mu tę metodę dzielenia na kawałki.
Transformacja odwrotna: właściwość wspólnego czynnika
Jest to przeciwieństwo własności rozdzielczej. Zamiast rozdzielać liczbę, usuń wspólne czynniki z sumy lub różnicy iloczynów.
Jeśli kilka terminów lub różnic ma ten sam współczynnik, możesz umieścić tę liczbę w nawiasach.
Spójrz na tę formułę.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Zwróć uwagę na cyfrę 5 w każdym wyrazie. Możesz to wyjąć:
5×(2-3+6)
Teraz rozwiąż wyrażenie w nawiasach:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Spójrzmy na inny sposób.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Obie metody działają. Jednak wzięcie wspólnego czynnika jest szybsze i mniej podatne na błędy arytmetyczne, szczególnie w przypadku dużych liczb. Ta technika jest podstawą przyszłej algebry, więc zrozumienie jej da ci solidną podstawę do nauki upraszczania wyrażeń.
Tożsamość jednostki: Właściwość elementu neutralnego
Istnieją liczby, których wartość nigdy się nie zmienia po pomnożeniu. Ta liczba to 1.
Mnożenie dowolnej liczby przez 1 zwraca liczbę pierwotną.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Pomyśl o tym w ten sposób. Dwa razy 3 równa się 6. Raz 3 równa się 3. Nie uległo zmianie.
Zauważ, że działa to w przypadku pozytywnego. Mnożenie przez -1 odwraca znak. Dlatego -1 ma tę samą wielkość, ale zmienia znak. Neutralny element mnożenia jest szczególnie dodatni 1.
Efekt zerowy: Właściwość elementu pochłaniającego
Potem przychodzi 0.
Mnożenie dowolnej wartości przez zero daje zero. Rozmiar lub znak oryginalnego numeru nie mają znaczenia.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Pochłania znaczenie. Wynik zawsze wynosi 0. Jest to ścisła zasada. Jeśli sprawdzisz książkę do matematyki swojego dziecka i podczas mnożenia przez zero otrzymasz odpowiedź różną od zera, od razu wiesz, co jest nie tak.
Konserwacja w obrębie: własność zamknięcia
Właściwości domknięcia dotyczą zbiorów. Dzięki temu przy mnożeniu liczb w danej grupie odpowiedzi pozostaną w tej samej grupie.
Iloczyn liczb naturalnych (dodatnich liczb całkowitych) jest zawsze liczbą naturalną.
4 × 6 = 24.
4 i 6 to liczby naturalne. 24 to liczba naturalna.
Iloczyn liczb całkowitych (w tym liczb ujemnych) jest zawsze liczbą całkowitą.
5 x (-2) = -10.
5 jest liczbą naturalną (a zatem liczbą całkowitą). -2 jest liczbą całkowitą. Wynik -10 jest liczbą całkowitą.
Ta funkcja może wydawać się oczywista dla dorosłych, ale ważne jest, aby uczniowie ją zrozumieli. To wyjaśnia, dlaczego pomnożenie niektórych liczb nie „łamie” systemu. Zapewnia przewidywalność.
Zrozumienie tych właściwości to coś więcej niż zdanie egzaminu. Chodzi o rozwój intuicji. Kiedy pojawiają się złożone problemy, możesz użyć tych reguł, aby je uporządkować, ujednolicić i uprościć. Zamieniają złożone równania w łatwe do wykonania kroki. Następnym razem, gdy staniesz przed problemem mnożenia, zadaj sobie pytanie, które właściwości pomogą Ci go szybciej rozwiązać.
Dlaczego te sztuczki z mnożeniem naprawdę działają?
Być może na lekcjach matematyki słyszałeś terminy takie jak „przemienność” lub „dystrybutywność”. Mogą brzmieć jak żargon korporacyjny, ale w rzeczywistości są to tylko sposoby na oszczędzanie zasobów umysłowych. Podzielmy je na cztery scenariusze, aby zobaczyć, jak te zasady działają w praktyce.
W jaki sposób prawo przemienności upraszcza produkty złożone?
Zobacz ćwiczenie 1. Podano tutaj cztery różne sekwencje.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Jaka jest odpowiedź? We wszystkich przypadkach jest tak samo.
Dlaczego? Ponieważ mnożenie jest przemienne. Oznacza to, że kolejność czynników nie zmienia wyniku końcowego. Tutaj mnożniki są zawsze 3, 5, 6, 8. Jeśli je zamienisz, wynik pozostanie taki sam.
Sprawdźmy obliczenia bez polegania na pamięci.
W przypadku opcji a) policz od lewej do prawej: 6 razy 3 równa się 18. Następnie 18 razy 5 równa się 90. Na koniec pomnóż 90 przez 8, aby otrzymać 720.
W przypadku opcji b) pierwsze 3 razy 8 równa się 24. Pomnóż to przez 6 (otrzymasz 144), a następnie przez 5. Wynik nadal wynosi 720.
Dla opcji c) 5 razy 6 równa się 30. Pomnóż przez 3, aby otrzymać 90. Pomnóż przez 8, aby otrzymać 720.
Dla opcji d) 8 razy 5 równa się 40. Pomnóż przez 6, aby otrzymać 240. Pomnóż przez 3, aby otrzymać 720.
Zgrupowanie się zmienia. Kolejność się zmienia. Produkt nie.
Czy czynniki grupujące zmieniają wynik?
W ćwiczeniu 2 pytamy, czy zmiana kolejności nawiasów zmieni wynik.
a) (5 × 2) × 7 + 3
b) 5 × (2 × 7) + 3
Odpowiedź: nie. Sposób grupowania czynników podczas mnożenia nie ma wpływu na wynik końcowy. Jest to właściwość skojarzenia.
Postępujmy zgodnie z krokami po obu stronach równania.
W skrypcie a) najpierw oceniane są nawiasy wewnętrzne. 5 razy 2 równa się 10. Następnie 10 razy 7 równa się 70. Dodaj 3, aby otrzymać 73.
W scenariuszu b) inaczej grupujemy liczby. 2 razy 7 równa się 14. Pomnóż to przez zewnętrzne 5, aby otrzymać 70. Dodaj kolejne 3. Wynik to 73.
Niezależnie od tego, jak połączysz liczby, poprzednie mnożenie daje tę samą wartość, więc wynikowy dodatek pozostaje taki sam.
Używanie właściwości rozdzielności do przyspieszania obliczeń
Ćwiczenie 3 koncentruje się na dystrybucji. Zasady są proste. Podczas mnożenia liczby przez sumę (lub różnicę) każdy wyraz w nawiasach jest mnożony przez liczbę poza nawiasami.
a) 4 × (5 + 3)
b) 5 × (8 – 5 + 1)
c) 3 × (2 + 2) + 0 × (7 + 9)
Oto rozwiązanie krok po kroku.
Dla opcji a) otwieramy nawiasy, rozdzielając 4:
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Dla opcji b) rozdzielamy 5 według różnicy i sumy:
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Dla opcji c) jest to trudniejsze, ponieważ jest tam zero. Rozdajemy 3 i 0 osobno:
3 × 2 = 6
3 × 4 = 12
0 × 7 = 0
0 × 9 = 0
6 + 12 + 0 + 0 = 18
