La multiplicación es más que simplemente saber la tabla de multiplicar. Esta función toma dos o más números (como 3 x 4 o 15 x 20) y los multiplica. El problema, sin embargo, es que si quieres multiplicar más rápido con menos esfuerzo, necesitas entender las reglas para estas operaciones.
Estas son propiedades de multiplicación. No son reglas arbitrarias. Éstas son las lógicas básicas que hacen que las matemáticas funcionen de forma eficaz.
Necesitas saber lo siguiente:
- ley conmutativa
- propiedad asociativa
- propiedad distributiva
- propiedad del factor común
- Propiedad de identidad (elemento neutro)
- Propiedad cero (elemento absorbente)
- Propiedades de cierre
Analicémoslos. Sin tonterías. Sólo un ejemplo fácil de entender y cómo usarlo.
Propiedad conmutativa
Este es el más fácil de gestionar. El orden de los números no cambia el resultado.
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Ya sea que pienses en 4 como 3 conjuntos o en 3 como 4 conjuntos, el total es el mismo. Es importante tener esto en cuenta al calcular. Probablemente esté más familiarizado con el 4 x 8 que con el 8 x 4. Úselo. La respuesta sigue siendo 32.
Propiedades relacionadas
Se cambia la agrupación. La respuesta sigue siendo la misma.
Si tienes (2 x 3) x 4, multiplica 2 por tres (6) y luego multiplica por 4 (24).
Sin embargo, si quieres hacer 2 x (3 x 4), primero multiplica 3 y 4 (12) y luego multiplica por 2 (24).
¿Por qué es esto útil? Te permite elegir el camino más fácil. Cuando veas 2x5x2, conecta los dos. 2 x 2 = 4. Entonces 4 x 5 = 20. Si no tienes cuidado, es mucho más rápido que ir de izquierda a derecha.
Especificar las propiedades
Esta es una combinación de álgebra y aritmética. Puedes distribuir un número a la suma o diferencia entre paréntesis.
Tome 5 x (10 + 2).
No es necesario que sumes 10 y 2 primero (pero también puedes sumar 12 primero y luego 5 x 12). También puedes dividirlo.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Mismo resultado. Esta característica es muy importante para la aritmética mental. ¿Aún tienes problemas con el 7 x 9? Divide 9 en 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Esta es una habilidad que vale la pena dominar.
Propiedades de autor comunes
Esto es básicamente lo contrario de la distribución. busca un número que aparezca en cada término.
Ejemplo: 6×8 + 6×2.
¿Ves el 6 en ambos lugares? Sácalo.
6×(8+2)
6 × 10 = 60
Esto simplifica expresiones complejas. Si desea simplificar una ecuación algebraica más adelante, esto
Cuando enseñas matemáticas a niños o simplemente intentas recordar por qué aprendiste una regla en la escuela, la terminología puede parecer aburrida. Sin embargo, estas propiedades son en realidad atajos. Ahorra tiempo. Se reducen los errores. Estos le ayudarán a comprender cómo funcionan los números antes de tomar el bolígrafo.
Veamos cómo funcionan en la práctica. Comprender “por qué” funcionan estas cosas hace que sea más fácil aplicarlas a las tareas y a situaciones de la vida real.
Clasificación de números: la ley conmutativa
La ley conmutativa de la multiplicación es simple. La respuesta no cambia según el orden de los números.
Toma 2 por 3. El resultado es 6. Ahora dale la vuelta. 3 por 2 también es 6.
Esto también se aplica si hay tres o más números. Cuando multiplicas 2, 4 y 5, el resultado siempre es 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
No importa cuántas veces ajustes, el producto sigue siendo el mismo. Esto es útil si quieres tranquilizar tu mente. Quizás 5 por 2 sea más fácil que 2 por 5. Las matemáticas no son importantes. tú haces.
Agrupación de números: propiedad asociativa
El intercambio de propiedades permite reorganizar los números, mientras que la propiedad asociativa permite combinarlos.
Esto sólo se aplica si hay tres o más factores. Esto significa que cambiar los paréntesis no cambia el resultado.
Mira este cálculo: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Puedes agruparlos de diferentes maneras.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
El orden de los factores sigue siendo importante para las reglas conmutativas, pero la agrupación es importante cuando se trata de reglas asociativas. Ambos conducen a la misma respuesta. Por lo tanto, puedes resolver problemas complejos de multiplicación en cualquier orden de operaciones sin preocuparte por romper las ecuaciones.
Suma y resta: ley distributiva
Aunque la propiedad distributiva suele resultar más confusa para los estudiantes, también es una de las herramientas más poderosas. Esto muestra que cuando multiplicas un número por una suma, multiplicas cada parte por separado y luego sumas los resultados.
Por ejemplo, supongamos 2 x (3 + 4).
El orden estándar de operaciones es el siguiente:
2×7 = 14
Sin embargo, usando la propiedad distributiva:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Misma respuesta. diferentes caminos.
Esto se aplica a cualquier término entre paréntesis. También se puede utilizar para restar.
Pruebe 2 x (3 – 4 + 5).
Primero resuelve los números entre paréntesis: 3 – 4 + 5 = 4.
Entonces 2×4=8.
Ahora distribuye:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Esta es una forma segura de descomponer números grandes y confusos en partes manejables. Si está ayudando a su hijo con la tarea, decírselo parecerá menos abstracto cuando le muestre este método de división.
Invirtiendo la situación: la propiedad del factor común
Esta es la inversa de la propiedad distributiva. En lugar de distribuir un número, extrae las cifras comunes de la suma o diferencia de los productos.
Si se suman o restan varios términos y todos tienen el mismo factor, puedes extraer ese número.
Mira esta fórmula.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Tenga en cuenta el número 5 en cada término. Puedes sacarlo:
5×(2-3+6)
Ahora resuelve el interior:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Miremos de otra manera.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Cualquiera de los métodos funcionará. Sin embargo, factorizar el término común es más rápido y menos propenso a errores aritméticos, especialmente para números grandes. Esta técnica es la base para el álgebra más adelante, por lo que comprenderla te brindará una base sólida para aprender a simplificar expresiones.
La identidad de uno: la propiedad del elemento neutral
Hay números cuyos valores utilizados en la multiplicación nunca cambian. Este número es 1.
Multiplicar cualquier número por 1 devuelve el número original.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Piénselo de esta manera. Dos por 3 es 6. Una vez 3 es solo 3. No cambió.
Tenga en cuenta que esto funciona para un 1 positivo. Multiplicar por -1 invierte el signo. Por tanto, -1 tiene la misma magnitud pero cambia de signo. El elemento neutro de la multiplicación es específicamente positivo 1.
Efecto cero: la propiedad del elemento absorbente
Entonces es 0.
Multiplicar cualquier valor por cero produce cero. No importa el tamaño o signo del número original.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Absorbe valor. El resultado es siempre 0. Ésta es una regla estricta. Si revisa la hoja de trabajo de matemáticas de su hijo y obtiene una respuesta distinta de cero cuando multiplica por cero, sabrá de inmediato qué está mal.
Mantenerse dentro del alcance: la propiedad de cierre
Las propiedades de cierre se aplican a los conjuntos. Esto asegura que al multiplicar números dentro de un grupo determinado, las respuestas permanezcan dentro del mismo grupo.
El producto de números naturales (enteros positivos) es siempre un número natural.
4 × 6 = 24.
4 y 6 son ambos naturales. 24 es natural.
El producto de números enteros (incluidos los números negativos) es siempre un número entero.
5 x (-2) = -10.
5 es un número natural (y por tanto un número entero). -2 es un número entero. El -10 resultante es un número entero.
Esta característica puede parecer obvia para los adultos, pero es importante que los estudiantes la comprendan. Esto explica por qué multiplicar algunos números no “rompe” el sistema. Proporciona previsibilidad.
Comprender estas propiedades es más que simplemente aprobar un examen. Se trata de desarrollar la intuición. Cuando surgen problemas complejos, puede utilizar estas reglas para organizarlos, combinarlos y simplificarlos. Estos convierten ecuaciones difíciles en pasos manejables. La próxima vez que te enfrentes a un problema de multiplicación, pregúntate qué propiedades te ayudarán a resolverlo más rápido.
¿Por qué funcionan realmente estos trucos de multiplicación?
Es posible que hayas escuchado términos como “conmutativo” o “distributivo” en la clase de matemáticas. Suenan como palabras de moda corporativas, pero son sólo atajos para ahorrar capacidad intelectual. Dividámoslo en cuatro escenarios para ver cómo funcionan estas reglas en la práctica.
¿Cómo simplifica la ley de conmutación productos complejos?
Vea el Ejercicio 1. Hay cuatro secuencias diferentes.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
¿Cuál es la respuesta? Todo.
¿Por qué? Porque la multiplicación es conmutativa. Esto significa que el orden de los factores no cambia el número final. Aquí los factores son siempre 3, 5, 6, , 8. Si los intercambia, los resultados permanecerán estables.
Probemos matemáticas sin depender de la memoria.
Para a) comenzando de izquierda a derecha, 6 por 3 es 18. Luego, 18 por 5 es 90. Finalmente, multiplica 90 por 8 para obtener 720.
b) entonces 3 por 8 es 24. Multiplícalo por 6 (144) y luego por 5. El resultado sigue siendo 720.
Para c), 5 por 6 es 30. Multiplica por 3 y obtienes 90. Multiplica por 8 y obtienes 720.
Para d), 8 por 5 es 40. Multiplique por 6 para obtener 240. Multiplique por 3 para obtener 720.
Cambios de agrupación. El orden cambia. El producto no
¿El factor de agrupación cambia los resultados?
El ejercicio 2 pregunta si reorganizar los corchetes cambia los resultados.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
La respuesta es no. La forma en que se agrupan los factores en la multiplicación no afecta el total. Esta es la propiedad asociativa.
Sigamos los pasos en ambos lados de la ecuación.
En el escenario a) los corchetes internos se calculan primero. 5 por 2 es 10. Luego 10 por 7 es 70. Suma 3 y obtienes 73.
En el escenario b) los agrupamos de manera diferente. 2 por 7 es 14. Multiplícalo por el 5 exterior para obtener 70. Añade 3 más. El resultado es 73.
No importa cómo combine los números, la multiplicación anterior produce el mismo valor, por lo que la suma final sigue siendo la misma.
Uso de propiedades distributivas para acelerar los cálculos
El ejercicio 3 se centra en las distribuciones. Las reglas son simples. Al multiplicar números por suma (o diferencia), cada término dentro del paréntesis se multiplica por el número fuera del paréntesis.
a) 4×(5+3)
segundo) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Aquí hay una solución paso a paso.
Para a), distribuya el 4:.
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Para b), distribuye el 5 entre la resta y la suma:.
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Para c) esto es difícil porque tiene cero. Distribuye el 3 y el 0 por separado:.
3×2=6
3 Ah, la explicación cambió la pregunta a “2+4”. Siga la lógica de la explicación para que coincida con la respuesta dada en 18).
Corregido según la descripción de la fuente:
Siguiendo la lógica interna de la explicación, queda así:
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
