Multiplikation ist mehr als nur die Kenntnis der Multiplikationstabelle. Diese Funktion nimmt zwei oder mehr Zahlen (z. B. 3 x 4 oder 15 x 20) und multipliziert sie. Das Problem besteht jedoch darin, dass Sie die Regeln für diese Operationen verstehen müssen, wenn Sie mit weniger Aufwand schneller multiplizieren möchten.
Dies sind Multiplikationseigenschaften. Es handelt sich nicht um willkürliche Regeln. Dies sind die Grundlogiken, die dafür sorgen, dass Mathematik effektiv funktioniert.
Sie müssen Folgendes wissen:
- Kommutativgesetz
- assoziatives Eigentum
- Verteilungseigentum
- gemeinsame Faktoreigenschaft
- Identitätseigenschaft (neutrales Element).
- Null-Eigenschaft (absorbierendes Element).
- Verschlusseigenschaften
Lassen Sie uns sie aufschlüsseln. Kein Flaum. Nur ein leicht verständliches Beispiel und wie man es verwendet.
Kommutative Eigenschaft
Dies ist am einfachsten zu handhaben. Die Reihenfolge der Zahlen ändert nichts am Ergebnis.
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Egal, ob Sie sich 4 als 3 Sätze oder 3 als 4 Sätze vorstellen, die Summe ist die gleiche. Dies ist bei der Berechnung unbedingt zu beachten. Wahrscheinlich kennen Sie 4 x 8 besser als 8 x 4. Verwenden Sie es. Die Antwort ist immer noch 32.
Verwandte Eigenschaften
Die Gruppierung wird geändert. Die Antwort bleibt dieselbe.
Wenn Sie (2 x 3) x 4 haben, multiplizieren Sie 2 mit drei (6) und dann mit 4 (24).
Wenn Sie jedoch 2 x (3 x 4) machen möchten, multiplizieren Sie zuerst 3 und 4 (12) und dann mit 2 (24).
Warum ist das nützlich? Es ermöglicht Ihnen, den einfachsten Weg zu wählen. Wenn Sie 2x5x2 sehen, verbinden Sie die beiden. 2 x 2 = 4. Dann 4 x 5 = 20. Wenn Sie nicht aufpassen, ist es viel schneller, als von links nach rechts zu gehen.
Geben Sie die Eigenschaften an
Dies ist eine Kombination aus Algebra und Arithmetik. Sie können eine Zahl auf die Summe oder Differenz in Klammern verteilen.
Nimm 5 x (10 + 2).
Sie müssen nicht zuerst 10 und 2 addieren (Sie können aber auch zuerst 12 und dann 5 x 12 addieren). Sie können es auch teilen.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Gleiches Ergebnis. Diese Funktion ist für das Kopfrechnen sehr wichtig. Haben Sie immer noch Probleme mit 7 x 9? Teilen Sie 9 durch 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Dies ist eine Fähigkeit, die es wert ist, erlernt zu werden.
Allgemeine Autoreneigenschaften
Dies ist im Grunde eine Umkehrung der Verteilung. Suchen Sie nach einer Zahl, die in jedem Begriff vorkommt.
Beispiel: 6 x 8 + 6 x 2.
Sehen Sie die 6 an beiden Stellen? Ziehen Sie es heraus.
6×(8+2)
6 × 10 = 60
Dies vereinfacht komplexe Ausdrücke. Wenn Sie später eine algebraische Gleichung vereinfachen möchten, ist dies der Fall
Wenn Sie Kindern Mathematik beibringen oder sich einfach nur daran erinnern möchten, warum Sie in der Schule eine Regel gelernt haben, kann die Terminologie langweilig wirken. Bei diesen Eigenschaften handelt es sich jedoch tatsächlich um Abkürzungen. Sparen Sie Zeit. Fehler werden reduziert. Diese helfen Ihnen zu verstehen, wie die Zahlen funktionieren, bevor Sie den Stift in die Hand nehmen.
Mal sehen, wie diese in der Praxis funktionieren. Wenn Sie verstehen, „warum“ diese Dinge funktionieren, können Sie sie leichter auf Hausaufgaben und Situationen im wirklichen Leben anwenden.
Zahlen sortieren: das Kommutativgesetz
Das kommutative Gesetz der Multiplikation ist einfach. Die Antwort ändert sich nicht entsprechend der Reihenfolge der Zahlen.
Nehmen Sie 2 mal 3. Das Ergebnis ist 6. Drehen Sie es nun um. 3 mal 2 ist auch 6.
Dies gilt auch bei drei oder mehr Zahlen. Wenn Sie 2, 4 und 5 multiplizieren, ist das Ergebnis immer 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Egal wie oft Sie die Anpassung vornehmen, das Produkt bleibt dasselbe. Dies ist nützlich, wenn Sie Ihren Geist beruhigen möchten. Vielleicht ist 5 mal 2 einfacher als 2 mal 5. Die Mathematik ist nicht wichtig. du tust.
Gruppierungszahlen: Assoziative Eigenschaft
Durch den Austausch von Eigenschaften können Zahlen neu angeordnet werden, während durch assoziative Eigenschaften das Kombinieren von Zahlen ermöglicht wird.
Dies gilt nur, wenn drei oder mehr Faktoren vorliegen. Das bedeutet, dass sich durch das Ändern der Klammern das Ergebnis nicht ändert.
Schauen Sie sich diese Rechnung an: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Sie können sie auf unterschiedliche Weise gruppieren.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
Die Reihenfolge der Faktoren ist für kommutative Regeln immer noch wichtig, aber die Gruppierung ist für assoziative Regeln wichtig. Beides führt zur gleichen Antwort. Daher können Sie komplexe Multiplikationsprobleme in jeder beliebigen Reihenfolge von Operationen lösen, ohne sich Gedanken darüber machen zu müssen, dass die Gleichungen kaputt gehen.
Addition und Subtraktion: Verteilungsgesetz
Obwohl Verteilungseigenschaften für Studierende oft verwirrender sind, sind sie auch eines der mächtigsten Werkzeuge. Dies zeigt, dass Sie beim Multiplizieren einer Zahl mit einer Summe jeden Teil einzeln multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren.
Angenommen, 2 x (3 + 4).
Die Standardreihenfolge der Operationen ist wie folgt:
2×7 = 14
Allerdings mit der Verteilungseigenschaft:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Gleiche Antwort. verschiedene Wege.
Dies gilt für alle Begriffe in Klammern. Es kann auch zur Subtraktion verwendet werden.
Versuchen Sie es 2 x (3 – 4 + 5).
Lösen Sie zunächst die Zahlen in Klammern: 3 – 4 + 5 = 4.
Dann ist 2×4=8.
Jetzt verteilen:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Dies ist eine todsichere Methode, um große, verwirrende Zahlen in überschaubare Teile zu zerlegen. Wenn Sie Ihrem Kind bei den Hausaufgaben helfen, wirkt das Erzählen weniger abstrakt, wenn Sie ihm diese Aufteilungsmethode zeigen.
Umgedreht: Die gemeinsame Faktoreigenschaft
Dies ist die Umkehrung der Verteilungseigenschaft. Anstatt eine Zahl zu verteilen, extrahieren Sie die gemeinsamen Zahlen aus der Summe oder Differenz der Produkte.
Wenn mehrere Terme addiert oder subtrahiert werden und alle denselben Faktor haben, können Sie diese Zahl extrahieren.
Schauen Sie sich diese Formel an.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Beachten Sie die Zahl 5 in jedem Begriff. Sie können es herausziehen:
5×(2-3+6)
Lösen Sie nun das Innere:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Schauen wir es anders an.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Beide Methoden funktionieren. Das Herausrechnen des gemeinsamen Termes geht jedoch schneller und ist weniger anfällig für Rechenfehler, insbesondere bei großen Zahlen. Diese Technik ist die Grundlage für die spätere Algebra. Wenn Sie sie also verstehen, erhalten Sie eine solide Grundlage für das Erlernen der Vereinfachung von Ausdrücken.
Die Identität des Einen: Die Eigenschaft des neutralen Elements
Es gibt Zahlen, deren Werte sich bei der Multiplikation nie ändern. Diese Zahl ist 1.
Das Multiplizieren einer beliebigen Zahl mit 1 ergibt die ursprüngliche Zahl.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Stellen Sie es sich so vor. Zweimal 3 ist 6. Einmal 3 ist nur 3. Hat sich nicht geändert.
Beachten Sie, dass dies für eine positive 1 funktioniert. Durch Multiplizieren mit -1 wird das Vorzeichen umgekehrt. Daher hat -1 den gleichen Betrag, ändert aber das Vorzeichen. Das neutrale Element der Multiplikation ist speziell positiv 1.
Nulleffekt: Die Eigenschaft des absorbierenden Elements
Dann ist es 0.
Die Multiplikation eines beliebigen Wertes mit Null ergibt Null. Die Größe oder das Vorzeichen der Originalzahl spielt keine Rolle.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Es absorbiert Wert. Das Ergebnis ist immer 0. Dies ist eine strenge Regel. Wenn Sie das Mathe-Arbeitsblatt Ihres Kindes überprüfen und bei der Multiplikation mit Null eine Antwort ungleich Null erhalten, wissen Sie sofort, was falsch ist.
Im Rahmen bleiben: Die Schließungseigenschaft
Abschlusseigenschaften gelten für Mengen. Dadurch wird sichergestellt, dass beim Multiplizieren von Zahlen innerhalb einer bestimmten Gruppe die Antworten innerhalb derselben Gruppe bleiben.
Das Produkt natürlicher Zahlen (positive ganze Zahlen) ist immer eine natürliche Zahl.
4 × 6 = 24.
4 und 6 sind beide natürlich. 24 ist natürlich.
Das Produkt ganzer Zahlen (einschließlich negativer Zahlen) ist immer eine ganze Zahl.
5 x (-2) = -10.
5 ist eine natürliche Zahl (und damit eine ganze Zahl). -2 ist eine ganze Zahl. Das resultierende -10 ist eine ganze Zahl.
Diese Funktion mag für Erwachsene offensichtlich erscheinen, für Schüler ist es jedoch wichtig, sie zu verstehen. Dies erklärt, warum das Multiplizieren einiger Zahlen das System nicht „zerstört“. Bietet Vorhersehbarkeit.
Diese Eigenschaften zu verstehen ist mehr als nur das Bestehen einer Prüfung. Es geht darum, Intuition zu entwickeln. Wenn komplexe Probleme auftreten, können Sie diese Regeln verwenden, um sie zu organisieren, zu kombinieren und zu vereinfachen. Dadurch werden schwierige Gleichungen zu überschaubaren Schritten. Wenn Sie das nächste Mal vor einem Multiplikationsproblem stehen, fragen Sie sich, welche Eigenschaften Ihnen helfen, es schneller zu lösen.
Warum funktionieren diese Multiplikationstricks wirklich?
Möglicherweise haben Sie im Mathematikunterricht Begriffe wie „kommutativ“ oder „distributiv“ gehört. Das hört sich an wie geschäftliche Schlagworte, ist aber nur eine Abkürzung, um Gehirnleistung zu sparen. Teilen wir es in vier Szenarien auf, um zu sehen, wie diese Regeln in der Praxis funktionieren.
Wie vereinfacht das Kommutierungsgesetz komplexe Produkte?
Siehe Übung 1. Es gibt vier verschiedene Sequenzen.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Wie lautet die Antwort? Alle.
Warum? Weil die Multiplikation kommutativ ist. Dies bedeutet, dass die Reihenfolge der Faktoren die endgültige Zahl nicht verändert. Hier sind die Faktoren immer 3, 5, 6, , 8. Wenn Sie sie austauschen, bleiben die Ergebnisse stabil.
Lassen Sie uns Mathematik testen, ohne uns auf das Gedächtnis zu verlassen.
Für a), beginnend von links nach rechts, ist 6 mal 3 18. Dann ist 18 mal 5 90. Zum Schluss multiplizieren Sie 90 mit 8, um 720 zu erhalten.
b) dann ist 3 mal 8 24. Multiplizieren Sie dies mit 6 (144) und dann mit 5. Das Ergebnis ist immer noch 720.
Für c) ist 5 mal 6 30. Multiplizieren Sie mit 3 und Sie erhalten 90. Multiplizieren Sie mit 8 und Sie erhalten 720.
Für d) ist 8 mal 5 40. Multiplizieren Sie mit 6, um 240 zu erhalten. Multiplizieren Sie mit 3, um 720 zu erhalten.
Gruppierungsänderungen. Die Reihenfolge ändert sich. Das Produkt nicht
Verändert der Gruppierungsfaktor die Ergebnisse?
In Übung 2 wird gefragt, ob eine Neuanordnung der Klammern die Ergebnisse verändert.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
Die Antwort ist nein. Die Gruppierung der Faktoren bei der Multiplikation hat keinen Einfluss auf die Summe. Dies ist die assoziative Eigenschaft.
Befolgen wir die Schritte auf beiden Seiten der Gleichung.
Im Szenario a) werden zuerst die inneren Klammern berechnet. 5 mal 2 ist 10. Dann ist 10 mal 7 70. Addiere 3 und du erhältst 73.
Im Szenario b) gruppieren wir sie anders. 2 mal 7 ist 14. Multiplizieren Sie dies mit der äußeren 5, um 70 zu erhalten. Addieren Sie 3 weitere. Das Ergebnis ist 73.
Unabhängig davon, wie Sie die Zahlen kombinieren, ergibt die vorherige Multiplikation denselben Wert, sodass die endgültige Addition gleich bleibt.
Verwendung von Verteilungseigenschaften zur Beschleunigung von Berechnungen
Übung 3 konzentriert sich auf Verteilungen. Die Regeln sind einfach. Beim Multiplizieren von Zahlen mit der Summe (oder Differenz) wird jeder Term innerhalb der Klammern mit der Zahl außerhalb der Klammern multipliziert.
a) 4×(5+3)
b) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Lösung.
Verteilen Sie für a) die 4:.
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Verteilen Sie für b) die 5 auf die Subtraktion und Addition:.
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Für c) ist das schwierig, weil es Null hat. Verteilen Sie die 3 und die 0 getrennt:
3×2=6
3 Ah, die Erklärung hat die Frage in „2+4“ geändert. Folgen Sie der Logik der Erklärung, um sie an die in 18) gegebene Antwort anzupassen.
Korrigiert basierend auf der Quellenbeschreibung:
Der inneren Logik der Erklärung folgend sieht es so aus:
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
