La moltiplicazione è molto più che conoscere semplicemente la tavola pitagorica. Questa funzione prende due o più numeri (come 3 x 4 o 15 x 20) e li moltiplica. Il problema, però, è che se si vuole moltiplicare più velocemente e con meno sforzo, è necessario comprendere le regole di queste operazioni.
Queste sono proprietà di moltiplicazione. Non sono regole arbitrarie. Queste sono le logiche di base che fanno funzionare la matematica in modo efficace.
È necessario sapere quanto segue:
- diritto commutativo
- proprietà associativa
- proprietà distributiva
- proprietà del fattore comune
- Proprietà Identità (elemento neutro).
- Proprietà Zero (elemento assorbente).
- Proprietà di chiusura
Analizziamoli. Niente lanugine. Solo un esempio facile da capire e come usarlo.
Proprietà commutativa
Questo è il più semplice da gestire. L’ordine dei numeri non cambia il risultato.
3×4 = 4×3 = 12
Sia che pensiate a 4 come 3 set o 3 come 4 set, il totale è lo stesso. Questo è importante da tenere presente durante il calcolo. Probabilmente hai più familiarità con 4 x 8 che con 8 x 4. Usalo. La risposta è ancora 32.
Proprietà correlate
Il raggruppamento è cambiato. La risposta rimane la stessa.
Se hai (2 x 3) x 4, moltiplica 2 per tre (6) e poi moltiplica per 4 (24).
Tuttavia, se vuoi ottenere 2 x (3 x 4), moltiplica prima 3 e 4 (12) e poi moltiplica per 2 (24).
Perché è utile? Ti permette di scegliere il percorso più semplice. Quando vedi 2x5x2, collega i due. 2 x 2 = 4. Quindi 4 x 5 = 20. Se non stai attento, è molto più veloce che andare da sinistra a destra.
Specificare le proprietà
Questa è una combinazione di algebra e aritmetica. È possibile distribuire un numero nella somma o nella differenza tra parentesi.
Prendi 5 x (10 + 2).
Non è necessario sommare prima 10 e 2 (ma puoi anche sommare prima 12 e poi 5 x 12). Puoi anche dividerlo.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Stesso risultato. Questa caratteristica è molto importante per l’aritmetica mentale. Hai ancora difficoltà con il 7 x 9? Dividi 9 in 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Questa è un’abilità che vale la pena padroneggiare.
Proprietà comuni dell’autore
Questo è fondamentalmente un inverso della distribuzione. cerca un numero che appare in ogni termine.
Esempio: 6×8 + 6×2.
Vedi i 6 in entrambi i punti? Tiralo fuori.
6×(8+2)
6×10 = 60
Ciò semplifica le espressioni complesse. Se vuoi semplificare un’equazione algebrica in seguito, questo lo farà
Quando insegni matematica ai bambini o semplicemente cerchi di ricordare perché hai imparato una regola a scuola, la terminologia può sembrare noiosa. Tuttavia, queste proprietà sono in realtà scorciatoie. Risparmia tempo. Gli errori sono ridotti. Questi ti aiuteranno a capire come funzionano i numeri prima di prendere in mano la penna.
Vediamo come funzionano nella pratica. Comprendere il “perché” queste cose funzionano rende più facile applicarle ai compiti a casa e alle situazioni di vita reale.
Ordinamento dei numeri: la legge commutativa
La legge commutativa della moltiplicazione è semplice. La risposta non cambia in base all’ordine dei numeri.
Prendi 2 volte 3. Il risultato è 6. Ora giralo. 3 per 2 è anche 6.
Ciò vale anche se ci sono tre o più numeri. Quando moltiplichi 2, 4 e 5, il risultato è sempre 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
-2 x 4 x 5 = 40 - 5 x 2 x 4 = 40
Non importa quante volte modifichi, il prodotto rimane lo stesso. Questo è utile se vuoi rilassare la mente. Forse 5 per 2 è più facile di 2 per 5. I conti non sono importanti. fate.
Raggruppamento di numeri: proprietà associativa
Lo scambio delle proprietà consente di riorganizzare i numeri, mentre la proprietà associativa consente di combinare i numeri.
Ciò si applica solo se ci sono tre o più fattori. Ciò significa che la modifica delle parentesi non modifica il risultato.
Osserva questo calcolo: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Puoi raggrupparli in diversi modi.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
L’ordine dei fattori è ancora importante per le regole commutative, ma il raggruppamento è importante quando si tratta di regole associative. Entrambi portano alla stessa risposta. Pertanto, puoi risolvere problemi di moltiplicazione complessi in qualsiasi ordine di operazioni senza preoccuparti di rompere le equazioni.
Addizione e sottrazione: legge distributiva
Sebbene le proprietà distributive siano spesso più confuse per gli studenti, sono anche uno degli strumenti più potenti. Ciò dimostra che quando moltiplichi un numero per una somma, moltiplichi ciascuna parte separatamente e poi aggiungi i risultati.
Ad esempio, supponiamo 2 x (3 + 4).
L’ordine standard delle operazioni è il seguente:
2×7 = 14
Tuttavia, utilizzando la proprietà distributiva:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Stessa risposta. percorsi diversi.
Questo vale per tutti i termini tra parentesi. Può essere utilizzato anche per la sottrazione.
Prova 2 x (3 – 4 + 5).
Per prima cosa risolvi i numeri tra parentesi: 3 – 4 + 5 = 4.
Quindi 2×4=8.
Ora distribuisci:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Questo è un modo infallibile per scomporre numeri grandi e confusi in blocchi gestibili. Se stai aiutando tuo figlio a fare i compiti, dirglielo sembrerà meno astratto quando gli mostrerai questo metodo di suddivisione.
Ribaltiamo la situazione: la proprietà del fattore comune
Questo è l’inverso della proprietà distributiva. Invece di distribuire un numero, estrai le cifre comuni dalla somma o dalla differenza dei prodotti.
Se vengono aggiunti o sottratti più termini e tutti hanno lo stesso fattore, è possibile estrarre quel numero.
Guarda questa formula.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Nota il numero 5 in ogni termine. Puoi estrarlo:
5×(2-3+6)
Ora risolvi l’interno:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5×5 = 25
Diamo un’occhiata in un altro modo.
10-15+30
-5 + 30 = 25
Entrambi i metodi funzioneranno. Tuttavia, scomporre il termine comune è più rapido e meno soggetto a errori aritmetici, soprattutto per i numeri grandi. Questa tecnica costituirà la base per l’algebra successiva, quindi comprenderla ti fornirà una solida base per imparare a semplificare le espressioni.
L’identità dell’Uno: la proprietà dell’elemento neutro
Ci sono numeri i cui valori utilizzati nella moltiplicazione non cambiano mai. Questo numero è 1.
Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene il numero originale.
-3×1 = 3
-10 x 1 = 10
-226 x 1 = 226
Pensatela in questo modo. Due per 3 fa 6. Una per 3 fa solo 3. Non è cambiato.
Nota che questo funziona con un 1 positivo. Moltiplicando per -1 si inverte il segno. Pertanto -1 ha la stessa grandezza ma cambia segno. L’elemento neutro della moltiplicazione è specificamente positivo 1.
Effetto Zero: la proprietà dell’elemento assorbente
Allora è 0.
Moltiplicando qualsiasi valore per zero si ottiene zero. La dimensione o il segno del numero originale non hanno importanza.
-1×0 = 0
-27×0 = 0
– -834 × 0 = 0
Assorbe valore. Il risultato è sempre 0. Questa è una regola rigida. Se controlli il foglio di lavoro di matematica di tuo figlio e ottieni una risposta diversa da zero quando moltiplichi per zero, sai subito cosa c’è che non va.
Rimanere nell’ambito: la proprietà di chiusura
Le proprietà di chiusura si applicano ai set. Ciò garantisce che quando si moltiplicano i numeri all’interno di un dato gruppo, le risposte rimangano all’interno dello stesso gruppo.
Il prodotto dei numeri naturali (interi positivi) è sempre un numero naturale.
4×6 = 24.
4 e 6 sono entrambi naturali. 24 è naturale.
Il prodotto di numeri interi (compresi i numeri negativi) è sempre un numero intero.
5 x (-2) = -10.
5 è un numero naturale (e quindi un intero). -2 è un numero intero. Il risultante -10 è un numero intero.
Questa caratteristica può sembrare ovvia agli adulti, ma è importante che gli studenti la comprendano. Questo spiega perché la moltiplicazione di alcuni numeri non “rompe” il sistema. Fornisce prevedibilità.
Comprendere queste proprietà è molto più che semplicemente superare un esame. Si tratta di costruire l’intuizione. Quando sorgono problemi complessi, puoi utilizzare queste regole per organizzarli, combinarli e semplificarli. Questi trasformano equazioni difficili in passaggi gestibili. La prossima volta che affronti un problema di moltiplicazione, chiediti quali proprietà ti aiuteranno a risolverlo più velocemente.
Perché questi trucchi di moltiplicazione funzionano davvero?
Potresti aver sentito termini come “commutativo” o “distributivo” durante le lezioni di matematica. Sembrano parole d’ordine aziendali, ma sono solo scorciatoie per risparmiare energia intellettuale. Suddividiamo il tutto in quattro scenari per vedere come funzionano queste regole nella pratica.
In che modo la legge della commutazione semplifica i prodotti complessi?
Vedi Esercizio 1. Ci sono quattro sequenze diverse.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Qual è la risposta? Tutto.
Perché? Perché la moltiplicazione è commutativa. Ciò significa che l’ordine dei fattori non cambia il numero finale. Qui i fattori sono sempre 3, 5, 6, , 8. Se li scambi, i risultati rimarranno stabili.
Proviamo la matematica senza fare affidamento sulla memoria.
Per a) partendo da sinistra a destra, 6 per 3 fa 18. Quindi 18 per 5 fa 90. Infine, moltiplica 90 per 8 per ottenere 720.
b) allora 3 per 8 fa 24. Moltiplicalo per 6 (144) e poi per 5. Il risultato è ancora 720.
Per c), 5 per 6 fa 30. Moltiplica per 3 e ottieni 90. Moltiplica per 8 e ottieni 720.
Per d), 8 volte 5 fa 40. Moltiplica per 6 per ottenere 240. Moltiplica per 3 per ottenere 720.
Modifiche al raggruppamento. L’ordine cambia. Il prodotto no
Il fattore di raggruppamento modifica i risultati?
L’esercizio 2 chiede se la riorganizzazione delle parentesi cambia i risultati.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
La risposta è no. Il modo in cui i fattori sono raggruppati nella moltiplicazione non influisce sul totale. Questa è la proprietà associativa.
Seguiamo i passaggi su entrambi i lati dell’equazione.
Nello scenario a) vengono calcolate prima le parentesi interne. 5 per 2 fa 10. Quindi 10 per 7 fa 70. Aggiungi 3 e ottieni 73.
Nello scenario b) li raggruppiamo diversamente. 2 per 7 fa 14. Moltiplica questo per il 5 più esterno per ottenere 70. Aggiungine altri 3. Il risultato è 73.
Non importa come combini i numeri, la moltiplicazione precedente produce lo stesso valore, quindi l’addizione finale rimane la stessa.
Utilizzo delle proprietà distributive per velocizzare i calcoli
L’esercizio 3 si concentra sulle distribuzioni. Le regole sono semplici. Quando si moltiplicano i numeri per la somma (o la differenza), ogni termine all’interno delle parentesi viene moltiplicato per il numero all’esterno delle parentesi.
a) 4×(5+3)
b) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Ecco una soluzione passo dopo passo.
Per a), distribuire i 4:.
4×5 = 20
4×3 = 12
20 + 12 = 32
Per b), distribuire il 5 tra la sottrazione e l’addizione:.
5×8 = 40
5×5 = 25
5×1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Per c) questo è difficile perché ha zero. Distribuisci il 3 e lo 0 separatamente:.
3×2=6
3 Ah, la spiegazione ha cambiato la domanda in “2+4”. Seguire la logica della spiegazione per abbinare la risposta data in 18).
Corretto in base alla descrizione della fonte:
Seguendo la logica interna della spiegazione, il risultato è questo:
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
