To pytanie zaprząta najwybitniejsze umysły od początku stulecia. Zaproponował ją Henri Poincaré w 1904 roku. Próbował sklasyfikować odmiany, ale trafił na ścianę. Trójwymiarowa przestrzeń zachowywała się inaczej, niż mógł sobie łatwo wyobrazić. Zastanawiał się, czy wszystkie po prostu połączone zamknięte 3-rozmaitości odpowiadają topologicznie 3-sferze. Jest to hipoteza Poincarégo.
Istnieje od dawna. To była tylko hipoteza. Problem otwarty w topologii algebraicznej. Dziś jest to udowodnione twierdzenie. Jednak osiągnięcie tego zajęło ponad 100 lat i wymagało zaangażowania kilku najgenialniejszych umysłów w matematyce.
Co właściwie oznaczają te terminy?
Nie trzeba doktoratu, żeby to zrozumieć, ale definicje są ważne. Oto jak to rozbić:
„Po prostu połączone” brzmi technicznie, ale oznacza po prostu, że w kosmosie nie ma dziur. Wyobraź sobie balon na ogrzane powietrze. Nie ma w nim żadnych dziur. Pączek ma dziurę. W środku pączka znajduje się dziura. Balony są po prostu połączone.
„Zamknięte” to bardziej trafne określenie. Oznacza to, że figura zawiera wszystkie swoje punkty graniczne. Jeśli jest wystarczająco blisko dowolnej krawędzi, inne punkty w zestawie również będą blisko. Nie ma luźnych krawędzi ani szczelin.
Rozmaitość 3D to abstrakcyjna wersja zakrzywionej powierzchni. Żyjemy w trójwymiarowej przestrzeni. Rozmaitość to przestrzeń, która lokalnie wygląda jak nasza przestrzeń, choć globalnie jest skręcona.
„Ekwiwalencja topologiczna” (lub homeomorfizm) oznacza, że jedną figurę można rozciągać, skręcać lub zginać w inną bez rozdzierania figury lub sklejania jej części. Jeśli możesz to zrobić, są one identyczne z topologicznego punktu widzenia.
3-sfera (oznaczona jako S ³) to zbiór punktów w przestrzeni czterowymiarowej znajdujących się w stałej odległości od początku układu współrzędnych. Jest to uogólnienie zwykłej kuli na wyższe wymiary.
Kalendarium pomiarów
Te spekulacje nie ograniczają się do 3D. Poincaré później rozszerzył tę koncepcję na n wymiarów. Założył, że każda zwarta n -wymiarowa rozmaitość jest homotopią równoważną n -sferze wtedy i tylko wtedy, gdy jest homeomorficzna z n -sferą. Mówiąc najprościej, n -sfera jest jedyną ograniczoną n -wymiarową przestrzenią bez dziur.
Matematycy badają problemy w jednym wymiarze na raz.
- Jeśli n = 1: To jest łatwe. Zwarta, zamknięta, po prostu połączona rozmaitość jednowymiarowa jest homeomorficzna z okręgiem. Tylko.
- Jeśli n = 2: To jest kula foremna. Problem ten został rozwiązany w XIX wieku.
- N ≥ 5: W 1961 roku amerykański matematyk Stephen Smale wykazał, że założenie to jest prawdziwe w przypadku wyższych wymiarów. Za tę pracę otrzymał Medal Fieldsa.
- Jeśli n = 4: Amerykański matematyk Michael Friedman rozwiązał ten problem w 1983 roku. Przypadek 4D jest skomplikowany, ponieważ wymiary oddziałują na siebie. Otrzymał także Medal Fieldsa.
- N = 3: To najtrudniejsza część. Oryginalna hipoteza Poincarégo.
Rozwiązanie dla 3D
Przypadek n = 3 pozostał nierozwiązany do czasu zaproponowania rozwiązania przez Grigorija Perelmana.
Perelman był rosyjskim matematykiem. W 2002 roku zamieścił swój dowód w Internecie. Początkowo nie przesłał go do recenzowanego czasopisma. Opublikował to w Internecie. To wywołało zamieszanie. Dowody w niekonwencjonalnej formie musiały zostać zweryfikowane przez społeczność matematyczną.
Inni matematycy spędzili lata na testowaniu jego pracy. Potwierdzili, że to prawda. Dowód opiera się na teorii przepływu Ricciego Richarda Hamiltona, którą Perelman udoskonalił i zastosował do rozwiązania problemu.
Perelman otrzymał Medal Fieldsa w 2006 roku za swoje zasługi. Odmówił. Jest także uprawniony do nagrody w wysokości 1 miliona dolarów przyznawanej przez Clay Mathematics Institute (CMI) w Cambridge w stanie Massachusetts. Jest to jedno z siedmiu wyzwań milenijnych. Perelman również odmówił.
Instytut Claya niechętnie zapewnił fundusze, ponieważ Perelman nie opublikował recenzowanego artykułu w czasopiśmie, jak tego żądali. Dopiero w 2010 roku, kiedy inni matematycy opublikowali dowody w recenzowanych czasopismach, CMI zaoferowało nagrodę w wysokości 1 miliona dolarów. Perelman ponownie odmówił.
Dlaczego to jest ważne?
Hipoteza Poincarégo nie jest tylko odpowiedzią na pytanie quizowe. Pomaga nam zrozumieć kształt wszechświata. Jeśli wszechświat jest trójwymiarową rozmaitością, czy jest po prostu połączony? Czy ma dziury? Narzędzia opracowane w celu udowodnienia tej hipotezy zmieniły topologię. Pozwalają matematykom klasyfikować przestrzenie, o których wcześniej tylko marzyli.
Pokazuje także, jak rozwinęła się matematyka. Smale i Friedman rozwiązali część zagadki. Perelman dokończył. Ale historia nie kończy się na nagrodach pieniężnych i medalach. Kończy się głębszym zrozumieniem samej przestrzeni.
