Множення – це більше, ніж просто знання таблиці множення. Ця операція бере два чи більше чисел (наприклад, 3×4 або 15×20) і перемножує їх. Однак, якщо ви хочете множити швидше та з меншими зусиллями, вам необхідно розуміти правила цих операцій.
Це властивості множення. Вони не є довільними правилами. Це базові засади, які роблять математику ефективною.
Вам необхідно знати наступне:
- Комутативний закон
- асоціативна властивість
- дистрибутивна властивість
- властивість загального множника
- Властивість тотожного (нейтрального) елемента
- властивість нуля (поглинаючого елемента)
- властивість замкнутості
Давайте розберемо їх. Без зайвої води. Тільки зрозумілі приклади та способи їх застосування.
Комутативна властивість
Це найпростіше у використанні. Порядок чисел не змінює результату.
3 × 4 = 4 × 3 = 12
Незалежно від того, чи розглядаєте ви 4 як 3 множини або 3 як 4 множини, загальний результат однаковий. Це важливо враховувати під час обчислень. Швидше за все, вам звичніше множити 4 на 8, ніж 8 на 4. Використовуйте цю перевагу. Відповідь все одно буде 32.
Асоціативна властивість
Угруповання чисел змінюється. Відповідь залишається незмінною.
Якщо ви маєте вираз (2 × 3) × 4, спочатку помножте 2 на 3 (вийде 6), а потім помножте результат на 4 (вийде 24).
Однак, якщо ви хочете обчислити 2 × (3 × 4), спочатку помножте 3 на 4 (вийде 12), а потім помножте результат на 2 (вийде 24).
Чому це корисно? Це дозволяє вам вибрати найлегший шлях. Коли ви бачите вираз 2×5×2, об’єднайте двійки. 2×2=4. Потім 4×5=20. Якщо не бути обережним, обчислення зліва направо займе набагато більше часу.
Дистрибутивна властивість
Це поєднання алгебри та арифметики. Ви можете розподілити одне число на суму або різницю у дужках.
Розглянемо 5×(10+2).
Вам не обов’язково спочатку складати 10 та 2 (хоча ви можете спочатку скласти їх, отримавши 12, а потім помножити на 5). Ви також можете розкрити дужки.
(5×10) + (5×2)
50 + 10 = 60
Результат той самий. Ця особливість є дуже важливою для усних обчислень. Ви все ще відчуваєте труднощі з 7 × 9? Розбийте 9 на 10 – 1.
7 × (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Це навичка, яку варто освоїти.
Властивість спільного множника
Це по суті зворотний розподіл. Шукайте число, яке зустрічається у кожному доданку.
Приклад: 6×8+6×2.
Бачите шістку в обох доданків? Винесіть її за дужки.
6 × (8 + 2)
6 × 10 = 60
Це спрощує складні висловлювання. Якщо вам потрібно буде спростити рівняння алгебри пізніше, це
Як властивості множення спрощують вирішення математичних завдань
Коли ви навчаєте дітей математики чи просто намагаєтеся згадати, навіщо вам у школі давали ті чи інші правила, термінологія може бути нудною. Однак ці властивості насправді є скороченими шляхами. Вони заощаджують час. Знижують кількість помилок. Вони допоможуть вам зрозуміти, як працюють числа, перш ніж ви візьмете до рук ручку.
Погляньмо, як це працює на практиці. Розуміння «чому» це працює робить застосування цих правил під час виконання домашніх завдань й у реальних життєвих ситуаціях легшим.
Сортування чисел: комутативний закон
Комутативний закон множення простий. Відповідь не змінюється в залежності від порядку чисел.
Візьмемо 2 помножити на 3. Результат дорівнює 6. Тепер переверніть порядок. 3 помножити на 2 також 6.
Це також може бути застосовано, якщо чисел три або більше. При множенні 2, 4 та 5 результат завжди дорівнює 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Незалежно від того, скільки разів ви змінюєте порядок, твір залишається незмінним. Це корисно, якщо ви хочете полегшити собі завдання. Можливо, 5 помножити на 2 простіше, ніж 2 помножити на 5. Математика не має значення. Ви робите те, що вам зручніше.
Угруповання чисел: асоціативна властивість
Властивість комутативності дозволяє переставляти числа місцями, тоді як асоціативна властивість дозволяє групувати числа.
Це застосовується лише у разі наявності трьох чи більше множників. Це означає, що зміна дужок не змінює результату.
Подивіться це обчислення: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Ви можете згрупувати їх по-різному.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
Порядок множників все ще важливий для комутативних правил, але угруповання є важливим при використанні асоціативного правила. Обидва приводять до однієї й тієї ж відповіді. Отже, ви можете вирішувати складні завдання на множення у будь-якому порядку дій, не переймаючись порушенням рівнянь.
Додавання та віднімання: розподільна властивість
Хоча розподільна властивість часто викликає більше труднощів у студентів, вона також є одним із найпотужніших інструментів. Воно показує, що з множенні числа у сумі потрібно помножити кожну частину окремо, та був скласти результати.
Наприклад, припустимо, 2 x (3+4).
Стандартний порядок дій такий:
2×7 = 14
Однак, використовуючи розподільну властивість:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Одна і та сама відповідь. Різні шляхи.
Це стосується будь-яких членів у дужках. Його також можна використовувати для віднімання.
Спробуйте 2 x (3 – 4 + 5).
Спочатку розв’яжіть числа у дужках: 3 – 4 + 5 = 4.
Потім 2×4=8.
Тепер розкрийте дужки:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Це надійний спосіб розбити великі, заплутані числа на керовані частини. Якщо ви допомагаєте дитині з домашнім завданням, пояснення здасться йому менш абстрактним, коли ви покажете йому цей метод розбиття.
Зворотне перетворення: властивість загального множника
Це зворотне розподільчій властивості. Замість розподіляти число, винесіть загальні множники із суми чи різниці творів.
Якщо кілька доданків або різниць мають той самий множник, ви можете винести це число за дужки.
Подивіться цю формулу.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Зверніть увагу на число 5 у кожному доданку. Ви можете винести його:
5×(2-3+6)
Тепер вирішіть вираз усередині дужок:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Давайте подивимося на інший спосіб.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Обидва методи працюють. Однак винесення загального множника швидше і менш схильна до арифметичних помилок, особливо для великих чисел. Цей прийом є основою для алгебри у майбутньому, тому його розуміння дасть вам міцну основу вивчення спрощення висловів.
Ідентичність одиниці: властивість нейтрального елемента
Існують числа, значення яких при множенні ніколи не змінюється. Це число 1.
Множення будь-якого числа на 1 повертає вихідне число.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Подумайте про це так. Двічі 3 одно 6. Один раз 3 – це просто 3. Не змінилося.
Зауважте, що це працює для позитивної одиниці. Множення на -1 змінює знак протилежний. Отже, -1 має той самий величину, але змінює знак. Нейтральний елемент множення – це позитивна 1.
Ефект нуля: властивість поглинаючого елемента
Потім іде 0.
Примноження будь-якого значення на нуль дає нуль. Розмір чи знак вихідного числа немає значення.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Воно поглинає значення. Результат завжди дорівнює 0. Це суворе правило. Якщо ви перевіряєте математичний зошит своєї дитини та отримуєте ненульову відповідь при множенні на нуль, ви одразу розумієте, у чому помилка.
Збереження в рамках: властивість замкнутості
Властивості замкнутості застосовуються до множин. Це гарантує, що при множенні чисел усередині цієї групи відповіді залишаються у тій самій групі.
Добуток натуральних чисел (позитивних цілих чисел) завжди є натуральним числом.
4×6 = 24.
4 і 6 – натуральні числа. 24 – натуральне число.
Добуток цілих чисел (включаючи негативні числа) завжди є цілим числом.
5 x (-2) = -10.
5 – натуральне число (і, отже, ціле число). -2 – ціле число. Результат -10 – ціле число.
Ця особливість може бути очевидною для дорослих, але вона важлива для розуміння студентами. Це пояснює, чому множення деяких чисел не ламає систему. Забезпечує передбачуваність.
Розуміння цих властивостей – це більше, ніж просто складання іспиту. Йдеться розвитку інтуїції. Коли виникають складні завдання, ви можете використовувати ці правила для організації, об’єднання та спрощення їх. Вони перетворюють складні рівняння на керовані кроки. Наступного разу, коли ви зіткнетеся із завданням на множення, запитайте себе, які властивості допоможуть вам вирішити її швидше.
Чому ці прийоми множення дійсно працюють?
Ви могли почути такі терміни, як «комутативність» або «дистрибутивність» на уроках математики. Вони можуть звучати як корпоративний жаргон, але насправді це просто способи заощадити ментальні ресурси. Розберемо їх на чотирьох сценаріях, щоб побачити, як ці правила працюють на практиці.
Як закон комутативності спрощує складні твори?
Див. Вправа 1. Тут дано чотири різні послідовності.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Яка відповідь? У всіх випадках він однаковий.
Чому? Тому що множення комутативно. Це означає, що порядок множників не змінює кінцевого результату. Тут множниками завжди є 3, 5, 6, 8. Якщо ви зміните їх місцями, результат залишиться постійним.
Давайте перевіримо математику, не покладаючись на згадку.
Для варіанта a) вважаємо зліва направо: 6 помножити на 3 і 18. Потім 18 помножити на 5 і 90. Нарешті, множимо 90 на 8, щоб отримати 720.
Для варіанта b) спочатку 3 помножити на 8 і 24. Помножуємо це на 6 (отримуємо 144), а потім на 5. Результат все одно 720.
Для варіанта c) 5 помножити на 6 і 30. Помножуємо на 3, отримуємо 90. Помножуємо на 8, отримуємо 720.
Для варіанта d) 8 помножити на 5 і 40. Помножуємо на 6, отримуємо 240. Помножуємо на 3, отримуємо 720.
Угруповання змінюється. Порядок змінюється. Твір – ні.
Чи змінює угруповання множників результат?
Вправа 2 запитує, чи змінить перестановка дужок результат.
a) (5 × 2) × 7 + 3
b) 5×(2×7) + 3
Відповідь: ні. Спосіб угруповання множників при множенні не впливає підсумковий результат. Це властивість асоціативності.
Давайте простежимо за кроками з обох боків рівняння.
У сценарії a) спочатку обчислюються внутрішні дужки. 5 помножити на 2 і 10. Потім 10 помножити на 7 і 70. Додаємо 3, і отримуємо 73.
У сценарії b) ми групуємо числа по-іншому. 2 помножити на 7 і 14. Помножуємо це на зовнішню 5, щоб отримати 70. Додаємо ще 3. Результат — 73.
Незалежно від того, як ви об’єднуєте числа, попереднє множення дає те саме значення, тому підсумкове додавання залишається незмінним.
Використання дистрибутивної властивості для прискорення обчислень
Вправа 3 зосереджена на розподілі. Правила прості. При множенні числа на суму (або різницю) кожен член у дужках множиться на число поза дужками.
a) 4× (5 + 3)
b) 5 × (8 – 5 + 1)
c) 3 × (2 + 2) + 0 × (7 + 9)
Ось покрокове рішення.
Для варіанта a) розкриваємо дужки, розподіляючи 4:
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Для варіанта b) розподіляємо 5 по різниці та сумі:
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Для варіанта c) це складніше, тому що є нуль. Розподіляємо 3 та 0 окремо:
3 × 2 = 6
3 × 4 = 12
0 × 7 = 0
0 × 9 = 0
6 + 12 + 0 + 0 = 18
