Násobení je více než jen znalost časových tabulek. Tato operace vezme dvě nebo více čísel (například 3 × 4 nebo 15 × 20) a vynásobí je. Pokud se však chcete množit rychleji a s menší námahou, musíte rozumět pravidlům těchto operací.
To jsou vlastnosti násobení. Nejsou to svévolná pravidla. To jsou základní principy, díky kterým je matematika efektivní.
Potřebujete vědět následující:
- komutativní právo
- asociativní vlastnost
- distribuční vlastnictví
- vlastnost společného faktoru
- vlastnost identického (neutrálního) prvku
- vlastnost nula (absorpční prvek)
- vlastnost uzávěru
Pojďme se na ně podívat. Žádná voda navíc. Pouze jasné příklady a způsoby jejich použití.
Komutativní vlastnost
Toto je nejjednodušší použití. Pořadí čísel nemění výsledek.
3 × 4 = 4 × 3 = 12
Ať už vidíte 4 jako 3 sady nebo 3 jako 4 sady, celkový výsledek je stejný. To je důležité vzít v úvahu při provádění výpočtů. Pravděpodobně vám vyhovuje více násobit 4 x 8 než násobit 8 x 4. Využijte toho. Odpověď bude stále 32.
Asociativní vlastnost
Seskupení čísel se změní. Odpověď zůstává stejná.
Pokud máte výraz (2 × 3) × 4, nejprve vynásobte 2 x 3 (získáte 6) a poté vynásobte výsledek 4 (získáte 24).
Pokud však chcete vypočítat 2 × (3 × 4), nejprve vynásobte 3 4 (dostane 12) a poté vynásobte výsledek 2 (dostane 24).
Proč je to užitečné? To vám umožní jít nejjednodušší cestou. Když uvidíte výraz 2 × 5 × 2, spojte dva. 2 × 2 = 4. Pak 4 × 5 = 20. Pokud si nedáte pozor, výpočet zleva doprava bude trvat mnohem déle.
Distribuční vlastnictví
Je to kombinace algebry a aritmetiky. Jedno číslo můžete rozdělit součtem nebo rozdílem v závorkách.
Uvažujme 5 × (10 + 2).
Nemusíte nejprve sčítat 10 a 2 (ačkoli je můžete nejprve sečíst, abyste získali 12, a poté je vynásobit 5). Můžete také rozšířit závorky.
(5 × 10) + (5 × 2)
50 + 10 = 60
Výsledek je stejný. Tato vlastnost je velmi důležitá pro mentální výpočty. Stále máte problémy s 7×9? Přestávka 9 na 10 – 1.
7 × (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
Toto je dovednost, kterou stojí za to zvládnout.
Společný faktor Vlastnost
Toto je v podstatě inverzní rozdělení. Hledejte číslo, které se vyskytuje u každého výrazu.
Příklad: 6 × 8 + 6 × 2.
Vidíte šestku v obou termínech? Vytáhněte to ze závorek.
6 × (8 + 2)
6 × 10 = 60
To zjednodušuje složité výrazy. Pokud později potřebujete zjednodušit algebraickou rovnici, je to tak
Když učíte děti matematiku nebo se jen snažíte vzpomenout si, proč vás ve škole učili určitá pravidla, může se vám tato terminologie zdát nudná. Tyto vlastnosti jsou však ve skutečnosti zkratky. Šetří čas. Snižte počet chyb. Pomohou vám pochopit, jak čísla fungují, ještě než vezmete do ruky pero.
Podívejme se, jak to funguje v praxi. Pochopení „proč“ to funguje usnadňuje použití těchto pravidel na domácí úkoly a situace v reálném životě.
Třídění čísel: komutativní zákon
Komutativní zákon násobení je jednoduchý. Odpověď se nemění v závislosti na pořadí čísel.
Vezměte 2 krát 3. Výsledek je 6. Nyní v opačném pořadí. 3 krát 2 se také rovná 6.
To platí i v případě tří a více čísel. Při násobení 2, 4 a 5 je výsledek vždy 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4 x 5 x 2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Bez ohledu na to, kolikrát změníte objednávku, kus zůstává stejný. To je užitečné, pokud si chcete věci usnadnit. Možná 5 krát 2 je jednodušší než 2 krát 5. Na matematice nezáleží. Děláte to, co je pro vás nejpohodlnější.
Seskupování čísel: asociativní vlastnost
Komutativní vlastnost umožňuje přeskupování čísel, zatímco asociativní vlastnost umožňuje seskupování čísel.
To platí pouze v případě, že jsou tři nebo více násobitelů. To znamená, že změna závorek nezmění výsledek.
Podívejte se na tento výpočet: 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Můžete je seskupit různými způsoby.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
Pořadí faktorů je stále důležité pro komutativní pravidla, ale seskupování je důležité při použití asociačního pravidla. Oba vedou ke stejné odpovědi. Proto můžete řešit složité úlohy násobení v libovolném pořadí operací, aniž byste se museli starat o porušení rovnic.
Sčítání a odčítání: distributivní vlastnost
Ačkoli je distribuční vlastnost pro studenty často nejnáročnější, je také jedním z nejmocnějších nástrojů. Ukazuje, že při násobení čísla součtem musíte vynásobit každou část zvlášť a poté sečíst výsledky.
Řekněme například 2 x (3 + 4).
Standardní postup je následující:
2×7 = 14
Nicméně pomocí distribuční vlastnosti:
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Stejná odpověď. Různé cesty.
To platí pro všechny členy uvedené v závorkách. Dá se použít i pro odčítání.
Zkuste 2 x (3 – 4 + 5).
Nejprve vyřešte čísla v závorkách: 3 – 4 + 5 = 4.
Pak 2×4=8.
Nyní rozbalte závorky:
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Je to spolehlivý způsob, jak rozdělit velká, matoucí čísla na zvládnutelné kousky. Pokud svému dítěti pomáháte s domácími úkoly, bude vysvětlení považovat za méně abstraktní, když mu ukážete tuto metodu trhání.
Inverzní transformace: vlastnost společného faktoru
Toto je opak distribuční vlastnosti. Namísto rozdělení počtu odeberte společné faktory ze součtu nebo rozdílu produktů.
Pokud má několik výrazů nebo rozdílů stejný faktor, můžete toto číslo umístit mimo hranaté závorky.
Podívejte se na tento vzorec.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Věnujte pozornost číslu 5 v každém termínu. Můžete to vyndat:
5×(2-3+6)
Nyní vyřešte výraz v závorkách:
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Podívejme se na jiný způsob.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
Oba způsoby fungují. Použití společného faktoru je však rychlejší a méně náchylné na aritmetické chyby, zejména u velkých čísel. Tato technika je základem budoucí algebry, takže její pochopení vám poskytne pevný základ pro učení se, jak zjednodušovat výrazy.
Identita jednotky: Vlastnost neutrálního prvku
Jsou čísla, jejichž hodnota se při násobení nikdy nemění. Toto číslo je 1.
Vynásobením libovolného čísla 1 vrátíte původní číslo.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Přemýšlejte o tom takto. Dvakrát 3 je 6. Jednou 3 je jen 3. Nezměnilo se.
Všimněte si, že to funguje pro pozitivní. Násobení -1 obrátí znaménko. Proto má -1 stejnou velikost, ale mění znaménko. Neutrální prvek násobení je specificky kladná 1.
Nulový efekt: Vlastnost absorbujícího prvku
Pak přijde 0.
Vynásobením libovolné hodnoty nulou dostaneme nulu. Na velikosti nebo znaménku původního čísla nezáleží.
- 1 × 0 = 0
-27 × 0 = 0
–834 × 0 = 0
Pohlcuje význam. Výsledek je vždy 0. Toto je přísné pravidlo. Pokud svému dítěti zkontrolujete matematickou knížku a při násobení nulou dostanete nenulovou odpověď, hned víte, co je špatně.
Zachování uvnitř: vlastnost uzavření
Vlastnosti uzávěru platí pro sady. Tím je zajištěno, že když se čísla v dané skupině vynásobí, odpovědi zůstanou ve stejné skupině.
Součin přirozených čísel (kladných celých čísel) je vždy přirozené číslo.
4 × 6 = 24.
4 a 6 jsou přirozená čísla. 24 je přirozené číslo.
Součin celých čísel (včetně záporných čísel) je vždy celé číslo.
5 x (-2) = -10.
5 je přirozené číslo (a tedy celé číslo). -2 je celé číslo. Výsledek -10 je celé číslo.
Tato funkce se může zdát dospělým samozřejmá, ale je důležité, aby ji studenti pochopili. To vysvětluje, proč násobení některých čísel „nerozbije“ systém. Poskytuje předvídatelnost.
Pochopení těchto vlastností je víc než jen složení zkoušky. Jde o rozvoj intuice. Když nastanou složité problémy, můžete tato pravidla použít k jejich uspořádání, sjednocení a zjednodušení. Přeměňují složité rovnice na zvládnutelné kroky. Až budete příště čelit problému s násobením, zeptejte se sami sebe, které vlastnosti vám pomohou jej vyřešit rychleji.
Proč tyto násobící triky skutečně fungují?
Možná jste ve svých hodinách matematiky slyšeli termíny jako „komutivita“ nebo „distributivita“. Mohou znít jako firemní žargon, ale ve skutečnosti jsou to jen způsoby, jak šetřit duševní zdroje. Pojďme si je rozdělit do čtyř scénářů, abychom viděli, jak tato pravidla fungují v praxi.
Jak zákon komutativnosti zjednodušuje složité produkty?
Viz cvičení 1. Zde jsou uvedeny čtyři různé sekvence.
a) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Jaká je odpověď? Ve všech případech je to stejné.
Proč? Protože násobení je komutativní. To znamená, že pořadí faktorů nemění konečný výsledek. Zde jsou násobiče vždy 3, 5, 6, 8. Pokud je prohodíte, výsledek zůstane stejný.
Zkontrolujme matematiku, aniž bychom se spoléhali na paměť.
U možnosti a) počítejte zleva doprava: 6 krát 3 se rovná 18. Pak 18 krát 5 se rovná 90. Nakonec vynásobte 90 8, abyste dostali 720.
Pro možnost b) se nejprve 3 krát 8 rovná 24. Vynásobte to 6 (dostanete 144) a poté 5. Výsledek je stále 720.
Pro možnost c) se 5 krát 6 rovná 30. Vynásobením 3 získáte 90. Vynásobením 8 získáte 720.
Pro možnost d) se 8 krát 5 rovná 40. Vynásobením 6 získáte 240. Vynásobením 3 získáte 720.
Seskupení se mění. Pořadí se mění. Produkt není.
Změní faktory seskupení výsledek?
Cvičení 2 se ptá, zda změna uspořádání závorek změní výsledek.
a) (5 × 2) × 7 + 3
b) 5 × (2 × 7) + 3
Odpověď: ne. Způsob, jakým jsou faktory seskupeny během násobení, neovlivňuje konečný výsledek. To je vlastnost asociativnosti.
Pokračujme kroky na obou stranách rovnice.
Ve skriptu a) se nejprve vyhodnocují vnitřní závorky. 5 krát 2 se rovná 10. Potom 10 krát 7 se rovná 70. Sečtením 3 získáte 73.
Ve scénáři b) seskupujeme čísla odlišně. 2 krát 7 se rovná 14. Vynásobte to vnějšími 5 a dostanete 70. Přidejte další 3. Výsledek je 73.
Bez ohledu na to, jak čísla kombinujete, předchozí násobení dává stejnou hodnotu, takže výsledné sčítání zůstává stejné.
Použití distribuční vlastnosti ke zrychlení výpočtů
Cvičení 3 se zaměřuje na distribuci. Pravidla jsou jednoduchá. Při násobení čísla součtem (nebo rozdílem) se každý člen v závorce násobí číslem mimo závorku.
a) 4 × (5 + 3)
b) 5 × (8 – 5 + 1)
c) 3 × (2 + 2) + 0 × (7 + 9)
Zde je krok za krokem řešení.
Pro možnost a) otevřeme závorky a rozdělíme 4:
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Pro možnost b) rozdělujeme 5 rozdílem a součtem:
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
U možnosti c) je to obtížnější, protože je tam nula. Distribuujeme 3 a 0 samostatně:
3 × 2 = 6
3 × 4 = 12
0 × 7 = 0
0 × 9 = 0
6 + 12 + 0 + 0 = 18
