Це питання займало найяскравіші уми з початку століття. Він був запропонований Анрі Пуанкаре у 1904 році. Він намагався класифікувати різноманіття, але вперся у стіну. Тривимірний простір поводився інакше, ніж він міг легко собі уявити. Він ставив питання, чи відповідають всі однозв’язні замкнуті тривимірні різноманіття топологічно 3-сфері. Це і є гіпотеза Пуанкаре.
Вона існувала тривалий час. То була просто гіпотеза. Відкрита проблема топології алгебри. Сьогодні це доведена теорема. Але шлях до цього зайняв понад 100 років і зажадав участі деяких із найблискучіших розумів у математиці.
Що насправді означають ці терміни
Вам не потрібна міра доктора філософії, щоб зрозуміти це, але визначення важливі. Ось як можна розкласти це на частини:
«Однозв’язковий» звучить технічно, але це просто означає, що в просторі немає дірок. Уявіть собі повітряну кулю. У ньому немає дірок. У пончика є дірка. У центрі пончика є отвір. Повітряні кулі є однозв’язковими.
“Замкнений” – більш точний термін. Це означає, що фігура містить усі свої граничні точки. Якщо вона досить близька до будь-якого краю, інші точки також будуть близькі. Немає вільних країв чи зазорів.
Тривимірне різноманіття – це абстрактна версія викривленої поверхні. Ми живемо у тривимірному просторі. Різноманітність — це простір, що локально виглядає як наш простір, хоча глобально він скручений.
“Топологічна еквівалентність” (або гомеоморфізм) означає, що одну фігуру можна розтягнути, скрутити або вигнути в іншу, не розриваючи фігуру і не склеюючи її частини. Якщо ви можете це зробити, вони є ідентичними з топологічної точки зору.
3-сфера (позначається S ³) – це безліч точок у чотиривимірному просторі, що знаходяться на фіксованій відстані від початку координат. Це узагальнення звичайної сфери для найвищих вимірів.
Хронологія вимірювань
Ця спекуляція не обмежується 3D. Пізніше Пуанкаре розширив цю ідею на n вимірів. Він припустив, що кожне компактне n -мірне різноманіття гомотопічно еквівалентне n -сфері тоді і тільки тоді, коли воно гомеоморфне n -сфері. Простіше кажучи, n -сфера – це єдиний обмежений n -мірний простір без дірок.
Математики вивчають проблеми з одного виміру за раз.
- Якщо n = 1: Це легко. Компактне, замкнуте, однозв’язне одновимірне різноманіття гомеоморфного кола. Просто.
- Якщо n = 2: Це звичайна сфера. Ця проблема була вирішена у 19 столітті.
- N ≥ 5: У 1961 році американський математик Стівен Смейл показав, що це припущення вірне для цих вищих вимірів. За цю роботу він отримав медаль Філдса.
Якщо n = 4: Американський математик Майкл Фрідман вирішив цю проблему в 1983 році. Випадок 4D складний, тому що виміри взаємодіють. Він також отримав медаль Філдса. - N = 3: Це найскладніша частина. Оригінальна гіпотеза Пуанкаре.
Рішення для 3D
Випадок n = 3 залишався невирішеним, доки Григорій Перельман не запропонував своє рішення.
Перельман був російським математиком. 2002 року він виклав свій доказ в інтернеті. Спочатку він не подавав його до журналу з рецензуванням. Він розмістив його в Інтернеті. Це викликало переполох. Докази у нетрадиційній формі мали бути перевірені математичним співтовариством.
Інші математики витратили роки на перевірку його роботи. Вони підтвердили, що це правильно. Доказ ґрунтується на теорії потоку Річчі Річарда Гамільтона, яку Перельман удосконалив та застосував для вирішення проблеми.
Перельман отримав медаль Філдса у 2006 році за свій внесок. Він відмовився. Він також має право на винагороду в 1 мільйон доларів від Інституту математики Клея (CMI) у Кембриджі, штат Массачусетс. Це одне із семи завдань тисячоліття. Перельман також відмовився від неї.
Інститут Клея неохоче був готовий видати фінансування, оскільки Перельман не опублікував статтю в журналі з рецензуванням, як того вимагали вони. Лише у 2010 році, коли інші математики опублікували підтвердження в журналах з рецензуванням, CMI запропонував приз у 1 мільйон доларів. Перельман знову відмовився.
Чому це важливо?
Гіпотеза Пуанкаре – це не просто відповідь на запитання вікторини. Вона допомагає нам зрозуміти форму всесвіту. Якщо всесвіт є тривимірним різноманіттям, чи є він однозв’язним? Чи є в ній дірки? Інструменти, розроблені на підтвердження цієї гіпотези, змінили топологію. Вони дозволяють математикам класифікувати простори, про які раніше тільки мріяли.
Це також свідчить, як розвивалася математика. Смейл та Фрідман вирішили частину головоломки. Перельман завершив її. Але історія не закінчується на призових грошах чи медалях. Вона закінчується глибшим розумінням самого простору.
