Euclidische meetkunde is comfortabel. Het is de geometrie van vlakke platen en rechte lijnen. Het gaat ervan uit dat je voor altijd een lijn in elke richting kunt trekken. Het gaat ervan uit dat parallelle lijnen altijd evenwijdig blijven.
De Riemannse geometrie gooit dat comfort uit het raam.
Het behoort tot de familie van niet-Euclidische meetkunden. Het wijzigt niet alleen de axioma’s van Euclides. Het breekt ze. Concreet verwerpt het het vijfde postulaat ronduit. En het wijzigt de tweede.
Het vijfde postulaat van Euclides zegt dit: neem een standpunt in. Wijs een punt aan dat niet op die lijn ligt. Trek een lijn door dat punt evenwijdig aan het origineel. Er bestaat slechts één zo’n lijn.
De Riemannse meetkunde zegt nee. Er zijn geen parallelle lijnen. Nul. Elke twee rechte lijnen zullen elkaar uiteindelijk kruisen.
Het tweede postulaat gaat over uitbreiding. Euclides beweerde dat een eindige rechte lijn voor onbepaalde tijd verlengd kon worden. Riemann staat de verlenging toe. Maar hier zit het addertje onder het gras. Alle rechte lijnen zijn eindig. Ze keren terug naar zichzelf. Ze hebben een vaste lengte.
Dit is niet alleen theoretische gymnastiek. Het beschrijft een ruimte met positieve kromming. Denk aan het oppervlak van een bol.
De wiskunde achter de curve
Om te begrijpen waarom dit belangrijk is, moet je kijken naar wat er met basisvormen gebeurt.
In de Euclidische meetkunde zijn de hoeken van een driehoek samen 180 graden. Twee rechte hoeken. Dat is een regel.
In de Riemannse meetkunde faalt deze regel. De som van de hoeken in een driehoek is altijd groter dan 180 graden. Hoe meer kromming je hebt, hoe groter die som wordt.
Parallelle lijnen bestaan niet in dit raamwerk. In de Euclidische ruimte liggen evenwijdige lijnen overal op gelijke afstand. Ze raken elkaar nooit aan. In de elliptische ruimte – een deelverzameling van de Riemannse meetkunde – bestaan ze helemaal niet. Elke lijn snijdt elke andere lijn.
Soortgelijke polygonen gedragen zich ook anders. In een vlakke ruimte kun je twee vierkanten van verschillende grootte hebben. Ze zijn vergelijkbaar. Ze hebben dezelfde hoeken en proportionele zijden. In de Riemannse meetkunde is dit onmogelijk. Als de hoeken hetzelfde zijn, staat de maat vast. U kunt een vorm niet schalen zonder de hoeken ervan te veranderen.
De meeste stellingen uit de Euclidische meetkunde zijn hier eenvoudigweg niet van toepassing. Er bestaat enige overlap. Maar de kernaannames zijn verdwenen.
Een geschiedenis van verborgen dimensies
Het verhaal van de niet-Euclidische meetkunde begint rond 1830. Wiskundigen als Gauss, Bolyai en Lobatsjevski publiceerden vroege werken. Ze waren bezig met het onderzoeken van hyperbolische meetkunde. Deze versie heeft een negatieve kromming. Het is het tegenovergestelde van de positieve kromming van Riemann.
Bernhard Riemann heeft die vroege papieren niet gezien. Hij werkte geïsoleerd.
In 1866 nam Riemann het concept van de gebogen ruimte over en breidde het uit. Hij ging van twee dimensies naar drie dimensies, en vervolgens naar n-dimensies. Hij creëerde het wiskundige raamwerk voor een ruimte die in elke richting kon buigen.
Zijn werk legde de basis voor de algemene relativiteitstheorie van Einstein. Zonder de Riemannse meetkunde zouden we niet over de wiskunde beschikken om de zwaartekracht te beschrijven als de kromming van de ruimtetijd.
Later verfijnde Felix Klein de classificatie. Hij maakte onderscheid tussen polaire ruimte en antipodale ruimte. Dit zijn variaties binnen de elliptische geometrie.
