La geometria euclidea è comoda. È la geometria delle lamiere piane e delle linee rette. Presuppone che tu possa tracciare una linea per sempre in qualsiasi direzione. Si presuppone che le linee parallele rimangano parallele, sempre.
La geometria riemanniana butta quel conforto fuori dalla finestra.
Appartiene alla famiglia delle geometrie non euclidee. Non si limita a modificare gli assiomi di Euclide. Li rompe. Nello specifico, respinge in toto il quinto postulato. E modifica il secondo.
Il quinto postulato di Euclide dice questo: prendi una linea. Scegli un punto non su quella linea. Disegna una linea attraverso quel punto parallela all’originale. Esiste solo una di queste linee.
La geometria riemanniana dice di no. Non ci sono linee parallele. Zero. Alla fine due linee rette qualsiasi si incroceranno.
Il secondo postulato riguarda l’estensione. Euclide sosteneva che una linea retta finita potesse essere estesa indefinitamente. Riemann consente la proroga. Ma ecco il problema. Tutte le rette sono finite. Ritornano su se stessi. Hanno una lunghezza fissa.
Questa non è solo ginnastica teorica. Descrive uno spazio con curvatura positiva. Pensa alla superficie di una sfera.
La matematica dietro la curva
Per capire perché questo è importante, devi guardare cosa succede alle forme base.
Nella geometria euclidea la somma degli angoli di un triangolo è pari a 180 gradi. Due angoli retti. Questa è una regola.
Nella geometria riemanniana questa regola fallisce. La somma degli angoli di un triangolo è sempre maggiore di 180 gradi. Maggiore è la curvatura, maggiore diventa la somma.
In questo quadro non esistono linee parallele. Nello spazio euclideo le rette parallele sono ovunque equidistanti. Non si toccano mai. Nello spazio ellittico – un sottoinsieme della geometria riemanniana – non esistono affatto. Ogni linea interseca ogni altra linea.
Anche poligoni simili si comportano diversamente. Nello spazio piatto puoi avere due quadrati di dimensioni diverse. Sono simili. Hanno gli stessi angoli e lati proporzionali. Nella geometria riemanniana questo è impossibile. Se gli angoli sono gli stessi, la dimensione è fissa. Non è possibile ridimensionare una forma senza modificarne gli angoli.
La maggior parte dei teoremi della geometria euclidea semplicemente non si applicano qui. Esiste qualche sovrapposizione. Ma i presupposti fondamentali sono scomparsi.
Una storia di dimensioni nascoste
La storia della geometria non euclidea inizia intorno al 1830. Matematici come Gauss, Bolyai e Lobachevski pubblicavano i primi lavori. Stavano esplorando la geometria iperbolica. Questa versione ha una curvatura negativa. È l’opposto della curvatura positiva di Riemann.
Bernhard Riemann non vide quei primi documenti. Ha lavorato in isolamento.
Nel 1866 Riemann riprese il concetto di spazio curvo e lo ampliò. È passato dalle due dimensioni alle tre e poi alle n-dimensioni. Ha creato la struttura matematica per uno spazio che potrebbe curvarsi in qualsiasi direzione.
Il suo lavoro gettò le basi per la relatività generale di Einstein. Senza la geometria Riemanniana, non avremmo i calcoli per descrivere la gravità come curvatura dello spaziotempo.
Successivamente Felix Klein perfezionò la classificazione. Ha distinto tra spazio polare e spazio agli antipodi. Queste sono variazioni all’interno della geometria ellittica.
