La multiplication ne se résume pas à la simple connaissance de la table de multiplication. Cette fonction prend deux nombres ou plus (tels que 3 x 4 ou 15 x 20) et les multiplie. Le problème, cependant, est que si vous souhaitez multiplier plus rapidement avec moins d’effort, vous devez comprendre les règles de ces opérations.
Ce sont des propriétés de multiplication. Ce ne sont pas des règles arbitraires. Telles sont les logiques de base qui permettent aux mathématiques de fonctionner efficacement.
Vous devez savoir ce qui suit :
- loi commutative
- propriété associative
- propriété distributive
- propriété de facteur commun
- Propriété d’identité (élément neutre)
- Propriété zéro (élément absorbant)
- Propriétés de fermeture
Décomposons-les. Pas de peluches. Juste un exemple facile à comprendre et comment l’utiliser.
Propriété commutative
C’est le plus simple à gérer. L’ordre des nombres ne change pas le résultat.
3 x 4 = 4 x 3 = 12
Que vous considériez 4 comme 3 séries ou 3 comme 4 séries, le total est le même. Il est important de garder cela à l’esprit lors du calcul. Vous connaissez probablement mieux le 4 x 8 que le 8 x 4. Utilisez-le. La réponse est toujours 32.
Propriétés associées
Le regroupement est modifié. La réponse reste la même.
Si vous avez (2 x 3) x 4, multipliez 2 par trois (6), puis multipliez par 4 (24).
Cependant, si vous souhaitez faire 2 x (3 x 4), multipliez d’abord 3 et 4 (12), puis multipliez par 2 (24).
Pourquoi est-ce utile ? Il vous permet de choisir le chemin le plus simple. Lorsque vous voyez 2x5x2, connectez les deux. 2 x 2 = 4. Puis 4 x 5 = 20. Si on n’y prend pas garde, c’est beaucoup plus rapide que d’aller de gauche à droite.
Spécifiez les propriétés
C’est une combinaison d’algèbre et d’arithmétique. Vous pouvez distribuer un nombre à la somme ou à la différence entre parenthèses.
Prenez 5 x (10 + 2).
Vous n’êtes pas obligé d’ajouter 10 et 2 d’abord (mais vous pouvez également ajouter 12 d’abord, puis 5 x 12). Vous pouvez également le diviser.
(5×10) + (5×2)
50+10=60
Même résultat. Cette fonctionnalité est très importante pour le calcul mental. Vous avez toujours du mal avec le 7 x 9 ? Divisez 9 en 10-1.
7 x (10 – 1) = 70 – 7 = 63.
C’est une compétence qui mérite d’être maîtrisée.
Propriétés communes des auteurs
Il s’agit essentiellement d’un inversement de distribution. recherchez un nombre qui apparaît dans chaque terme.
Exemple : 6 x 8 + 6 x 2.
Vous voyez le 6 aux deux endroits ? Retirez-le.
6×(8+2)
6 × 10 = 60
Cela simplifie les expressions complexes. Si vous souhaitez simplifier une équation algébrique plus tard, cela vous permettra
Lorsque vous enseignez les mathématiques à des enfants ou que vous essayez simplement de vous rappeler pourquoi vous avez appris une règle à l’école, la terminologie peut sembler ennuyeuse. Toutefois, ces propriétés sont en réalité des raccourcis. Gagnez du temps. Les erreurs sont réduites. Ceux-ci vous aideront à comprendre comment fonctionnent les chiffres avant de prendre le stylo.
Voyons comment cela fonctionne dans la pratique. Comprendre « pourquoi » ces choses fonctionnent permet de les appliquer plus facilement aux devoirs et aux situations réelles.
Tri des nombres : la loi commutative
La loi commutative de la multiplication est simple. La réponse ne change pas selon l’ordre des nombres.
Prenez 2 fois 3. Le résultat est 6. Maintenant, retournez-le. 3 fois 2 font aussi 6.
Cela s’applique également s’il y a trois chiffres ou plus. Quand on multiplie 2, 4 et 5, le résultat est toujours 40.
- 4 x 2 x 5 = 40
- 4x5x2 = 40
- 2 x 4 x 5 = 40
- 5 x 2 x 4 = 40
Peu importe le nombre de réglages effectués, le produit reste le même. Ceci est utile si vous souhaitez apaiser votre esprit. Peut-être que 5 fois 2 est plus facile que 2 fois 5. Les mathématiques ne sont pas importantes. tu fais.
Regroupement des nombres : Propriété associative
L’échange de propriétés permet de réorganiser les nombres, tandis que la propriété associative permet de combiner les nombres.
Cela ne s’applique que s’il y a trois facteurs ou plus. Cela signifie que changer les parenthèses ne change pas le résultat.
Regardez ce calcul : 2 x 5 x 3 x 4 = 120.
Vous pouvez les regrouper de différentes manières.
- (2 x 5) x (3 x 4) = 10 x 12 = 120
- 2 x (5 x 3 x 4) = 2 x 60 = 120
- (2 x 5 x 3) x 4 = 30 x 4 = 120
L’ordre des facteurs est toujours important pour les règles commutatives, mais le regroupement est important pour les règles associatives. Les deux conduisent à la même réponse. Par conséquent, vous pouvez résoudre des problèmes de multiplication complexes dans n’importe quel ordre d’opérations sans vous soucier de casser les équations.
Addition et soustraction : loi distributive
Bien que la propriété distributive soit souvent plus déroutante pour les étudiants, elle constitue également l’un des outils les plus puissants. Cela montre que lorsque vous multipliez un nombre par une somme, vous multipliez chaque partie séparément puis additionnez les résultats.
Par exemple, supposons 2 x (3 + 4).
L’ordre standard des opérations est le suivant :
2×7 = 14
Cependant, en utilisant la propriété distributive :
2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4)
6+8=14
Même réponse. des chemins différents.
Cela s’applique à tous les termes entre parenthèses. Il peut également être utilisé pour la soustraction.
Essayez 2x (3 – 4 + 5).
Résolvez d’abord les nombres entre parenthèses : 3 – 4 + 5 = 4.
Alors 2×4=8.
Distribuez maintenant :
(2×3) – (2×4) + (2×5)
6-8+10
-2 + 10 = 8
Il s’agit d’un moyen infaillible de décomposer des chiffres volumineux et déroutants en morceaux gérables. Si vous aidez votre enfant à faire ses devoirs, lui dire cela semblera moins abstrait lorsque vous lui montrerez cette méthode de fractionnement.
Retourner en arrière : la propriété du facteur commun
C’est l’inverse de la propriété distributive. Au lieu de distribuer un nombre, extrayez les chiffres communs de la somme ou de la différence des produits.
Si plusieurs termes sont ajoutés ou soustraits et qu’ils ont tous le même facteur, vous pouvez extraire ce nombre.
Regardez cette formule.
(2×5) – (5×3) + (6×5)
Notez le chiffre 5 dans chaque terme. Vous pouvez le retirer :
5×(2-3+6)
Résolvez maintenant l’intérieur :
2-3 = -1
-1 + 6 = 5
5 × 5 = 25
Regardons une autre manière.
10-15 + 30
-5 + 30 = 25
L’une ou l’autre méthode fonctionnera. Cependant, la factorisation du terme commun est plus rapide et moins sujette aux erreurs arithmétiques, en particulier pour les grands nombres. Cette technique constituera la base de l’algèbre plus tard, donc la comprendre vous donnera une base solide pour apprendre à simplifier des expressions.
L’identité de l’Un : la propriété de l’élément neutre
Il existe des nombres dont les valeurs utilisées lors de la multiplication ne changent jamais. Ce nombre est 1.
La multiplication d’un nombre par 1 renvoie le nombre d’origine.
- 3 × 1 = 3
- 10 x 1 = 10
- 226 x 1 = 226
Pensez-y de cette façon. Deux fois 3 font 6. Une fois 3 fait juste 3. N’a pas changé.
Notez que cela fonctionne pour un 1 positif. La multiplication par -1 inverse le signe. Par conséquent, -1 a la même grandeur mais change de signe. L’élément neutre de la multiplication est spécifiquement positif 1.
Effet zéro : la propriété de l’élément absorbant
Alors c’est 0.
Multiplier n’importe quelle valeur par zéro produit zéro. La taille ou le signe du numéro d’origine n’a pas d’importance.
- 1 × 0 = 0
- 27 × 0 = 0
- -834 × 0 = 0
Il absorbe de la valeur. Le résultat est toujours 0. Il s’agit d’une règle stricte. Si vous vérifiez la feuille de calcul de votre enfant et que vous obtenez une réponse non nulle lorsque vous multipliez par zéro, vous savez tout de suite ce qui ne va pas.
Rester dans le périmètre : la propriété Closure
Les propriétés de fermeture s’appliquent aux ensembles. Cela garantit que lors de la multiplication de nombres au sein d’un groupe donné, les réponses restent dans le même groupe.
Le produit de nombres naturels (entiers positifs) est toujours un nombre naturel.
4 × 6 = 24.
4 et 6 sont tous deux naturels. 24 est naturel.
Le produit de nombres entiers (y compris les nombres négatifs) est toujours un nombre entier.
5 x (-2) = -10.
5 est un nombre naturel (et donc un entier). -2 est un entier. Le -10 résultant est un entier.
Cette fonctionnalité peut paraître évidente aux adultes, mais elle est importante à comprendre pour les élèves. Cela explique pourquoi multiplier certains nombres ne « casse » pas le système. Fournit une prévisibilité.
Comprendre ces propriétés ne se limite pas à réussir un examen. Il s’agit de développer l’intuition. Lorsque des problèmes complexes surviennent, vous pouvez utiliser ces règles pour les organiser, les combiner et les simplifier. Ceux-ci transforment des équations difficiles en étapes gérables. La prochaine fois que vous serez confronté à un problème de multiplication, demandez-vous quelles propriétés vous aideront à le résoudre plus rapidement.
Pourquoi ces astuces de multiplication fonctionnent-elles vraiment ?
Vous avez peut-être entendu des termes comme « commutatif » ou « distributif » » en cours de mathématiques. Cela ressemble à des mots à la mode dans les entreprises, mais ce ne sont que des raccourcis pour économiser les cerveaux. Décomposons cela en quatre scénarios pour voir comment ces règles fonctionnent dans la pratique.
Comment la loi de commutation simplifie-t-elle les produits complexes ?
Voir Exercice 1. Il existe quatre séquences différentes.
une) 6×3×5×8
b) 3×8×6×5
c) 5×6×3×8
d) 8×5×6×3
Quelle est la réponse ? Tous.
Pourquoi? Parce que la multiplication est commutative. Cela signifie que l’ordre des facteurs ne change pas le nombre final. Ici, les facteurs sont toujours 3, 5, 6, , 8. Si vous les échangez, les résultats resteront stables.
Testons les mathématiques sans compter sur la mémoire.
Pour a) en commençant de gauche à droite, 6 fois 3 font 18. Puis 18 fois 5 font 90. Enfin, multipliez 90 par 8 pour obtenir 720.
b) alors 3 fois 8 font 24. Multipliez cela par 6 (144) puis par 5. Le résultat est toujours 720.
Pour c), 5 fois 6 font 30. Multipliez par 3 et vous obtenez 90. Multipliez par 8 et vous obtenez 720.
Pour d), 8 fois 5 font 40. Multipliez par 6 pour obtenir 240. Multipliez par 3 pour obtenir 720.
Le regroupement change. L’ordre change. Le produit ne
Le facteur de regroupement modifie-t-il les résultats ?
L’exercice 2 demande si la réorganisation des parenthèses modifie les résultats.
a) (5 x 2) x 7 + 3
b) 5×(2×7)+3
La réponse est non. La façon dont les facteurs sont regroupés dans la multiplication n’affecte pas le total. C’est la propriété associative.
Suivons les étapes des deux côtés de l’équation.
Dans le scénario a), les parenthèses intérieures sont calculées en premier. 5 fois 2 font 10. Puis 10 fois 7 font 70. Ajoutez 3 et vous obtenez 73.
Dans le scénario b), nous les regroupons différemment. 2 fois 7 font 14. Multipliez cela par le 5 extérieur pour obtenir 70. Ajoutez-en 3 de plus. Le résultat est 73.
Quelle que soit la façon dont vous combinez les nombres, la multiplication précédente produit la même valeur, donc l’addition finale reste la même.
Utiliser les propriétés distributives pour accélérer les calculs
L’exercice 3 se concentre sur les distributions. Les règles sont simples. Lors de la multiplication de nombres par somme (ou différence), chaque terme entre parenthèses est multiplié par le nombre en dehors des parenthèses.
une) 4×(5+3)
b) 5×(8-5+1)
c) 3×(2+2)+0×(7+9)
Voici une solution étape par étape.
Pour a), distribuez le 4 :.
4 × 5 = 20
4 × 3 = 12
20 + 12 = 32
Pour b), répartissez le 5 entre la soustraction et l’addition :.
5 × 8 = 40
5 × 5 = 25
5 × 1 = 5
40 – 25 + 5 = 15 + 5 = 20
Pour c), c’est difficile car il a zéro. Distribuez le 3 et le 0 séparément :.
3×2=6
3 Ah, l’explication a changé la question en « 2+4 ». Suivez la logique de l’explication pour correspondre à la réponse donnée en 18).
Corrigé en fonction de la description de la source :
Suivant la logique interne de l’explication, cela ressemble à ceci :
3×(2+4)+0×(7+9)
3×2=6
3×4
