Die euklidische Geometrie ist bequem. Es ist die Geometrie flacher Bleche und gerader Linien. Es wird davon ausgegangen, dass Sie eine Linie für immer in jede Richtung zeichnen können. Es wird davon ausgegangen, dass parallele Linien immer parallel bleiben.
Die Riemannsche Geometrie wirft diesen Komfort über den Haufen.
Sie gehört zur Familie der nichteuklidischen Geometrien. Es optimiert nicht nur Euklids Axiome. Es bricht sie. Insbesondere lehnt es das fünfte Postulat entschieden ab. Und es modifiziert das zweite.
Euklids fünftes Postulat besagt: Nimm eine Linie. Wählen Sie einen Punkt, der nicht auf dieser Linie liegt. Zeichnen Sie durch diesen Punkt eine Linie parallel zum Original. Es gibt nur eine solche Zeile.
Die Riemannsche Geometrie sagt nein. Es gibt keine parallelen Linien. Null. Irgendwann werden sich zwei beliebige Geraden kreuzen.
Das zweite Postulat betrifft die Erweiterung. Euklid behauptete, eine endliche gerade Linie könne ins Unendliche verlängert werden. Riemann lässt die Verlängerung zu. Aber hier ist der Haken. Alle Geraden sind endlich. Sie kehren zu sich selbst zurück. Sie haben eine feste Länge.
Das ist nicht nur theoretisches Turnen. Es beschreibt einen Raum mit positiver Krümmung. Stellen Sie sich die Oberfläche einer Kugel vor.
Die Mathematik hinter der Kurve
Um zu verstehen, warum das wichtig ist, muss man sich ansehen, was mit Grundformen passiert.
In der euklidischen Geometrie addieren sich die Winkel eines Dreiecks zu 180 Grad. Zwei rechte Winkel. Das ist eine Regel.
In der Riemannschen Geometrie versagt diese Regel. Die Winkelsumme in einem Dreieck ist immer größer als 180 Grad. Je größer die Krümmung ist, desto größer wird diese Summe.
Parallele Linien gibt es in diesem Rahmen nicht. Im euklidischen Raum haben parallele Linien überall den gleichen Abstand. Sie berühren sich nie. Im elliptischen Raum – einer Teilmenge der Riemannschen Geometrie – existieren sie überhaupt nicht. Jede Linie schneidet jede andere Linie.
Ähnliche Polygone verhalten sich auch unterschiedlich. Im flachen Raum können Sie zwei Quadrate unterschiedlicher Größe haben. Sie sind ähnlich. Sie haben die gleichen Winkel und proportionalen Seiten. In der Riemannschen Geometrie ist dies unmöglich. Wenn die Winkel gleich sind, ist die Größe festgelegt. Sie können eine Form nicht skalieren, ohne ihre Winkel zu ändern.
Die meisten Sätze der euklidischen Geometrie sind hier einfach nicht anwendbar. Es gibt einige Überschneidungen. Aber die Kernannahmen sind verschwunden.
Eine Geschichte verborgener Dimensionen
Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie beginnt um 1830. Mathematiker wie Gauß, Bolyai und Lobatschewski veröffentlichten frühe Werke. Sie erforschten die hyperbolische Geometrie. Diese Version hat eine negative Krümmung. Es ist das Gegenteil von Riemanns positiver Krümmung.
Bernhard Riemann hat diese frühen Arbeiten nicht gesehen. Er arbeitete isoliert.
1866 übernahm Riemann das Konzept des gekrümmten Raums und erweiterte es. Er wechselte von zwei Dimensionen zu drei und dann zu n-Dimensionen. Er schuf den mathematischen Rahmen für einen Raum, der sich in jede Richtung krümmen konnte.
Seine Arbeit legte den Grundstein für Einsteins allgemeine Relativitätstheorie. Ohne die Riemannsche Geometrie hätten wir nicht die Mathematik, um die Schwerkraft als Krümmung der Raumzeit zu beschreiben.
Später verfeinerte Felix Klein die Klassifizierung. Er unterschied zwischen Polarraum und Antipodenraum. Dies sind Variationen innerhalb der elliptischen Geometrie.
