Sie müssen Brüche addieren. Sie betrachten den Nenner. sie sind unterschiedlich. Das ist sehr ärgerlich.
Die Lösung liegt in einem Konzept, das die meisten Studenten fürchten, auf das sie sich aber ständig verlassen. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache, im Spanischen oft mit LCM oder mcm abgekürzt.
Lassen wir den akademischen Jargon beiseite. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch zwei oder mehr ganze Zahlen teilbar ist. Keine Restbestände. Einfach saubere Aufteilung.
Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?
Keine Panik, wenn Sie mcm(a, b) = x sehen. Es bedeutet einfach:
- a und b sind Startzahlen (natürliche Zahlen).
- x ist das kleinste Ergebnis, das sowohl durch a als auch b teilbar ist.
Nehmen wir zum Beispiel die Zahlen 2 und 3.
Listen Sie die Vielfachen der Zahl 2 auf: 2, 4, 6, 8, 10 …
Listen Sie die Vielfachen der Zahl 3 auf: 3, 6, 9, 12, 15 …
Sehen Sie, wo sich Ihre Listen überschneiden. Die erste Zahl, die in beiden Listen erscheint, ist 6.
Daher ist mcm(2, 3) = 6.
Sie können dies beliebig erweitern. Zwei oder drei Zahlen sind Standard, aber die Logik gilt auch für vier, fünf oder mehr Zahlen. Das Ziel ist dasselbe: das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.
Warum brauchen wir das?
Das ist mehr als nur eine mathematische Übung. Kleinstes gemeinsames Vielfaches hat eine wichtige praktische Anwendung: das Addieren und Subtrahieren von Brüchen.
1/2 und 1/3 können nicht direkt hinzugefügt werden. Der Nenner ist ein anderer. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden. Die klügste Wahl? Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Nenner. Halten Sie die Zahlen klein und die Berechnungen effizienter.
Drei Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache zu berechnen
Es gibt keinen „richtigen“ Weg. Genau das, was für das Gehirn funktioniert. Hier sind die drei effektivsten Methoden.
1. Multiples auflisten
Dies ist die intuitivste Methode für Anfänger.
- Schreiben Sie das Vielfache der ersten Zahl.
- Schreiben Sie das Vielfache der zweiten Zahl.
- Suchen Sie die erste Nummer in beiden Listen.
4 und 6 :
* Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16…
* Vielfache von 6: 6, 12, 18…
Die erste Übereinstimmung ist 12. Daher ist mcm(4, 6) = 12.
Dies funktioniert gut für kleine Zahlen. Wenn die Zahl groß ist, schlägt der Vorgang fehl.
2. Primfaktorzerlegung
Dies ist ein effektiver Ansatz. Erweiterbar.
- Zerlegen Sie jede Zahl in ihre Primfaktoren.
- Holen Sie sich alle eindeutigen Primzahlen in der Liste.
- Verwenden Sie für jeden Primfaktor die höchste gefundene Potenz.
- Multiplizieren Sie sie miteinander.
**mcm(12,
Das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen muss nicht wie das Lösen komplexer Gleichungen sein. Das Erkennen von Zahlenmustern ist für Schüler und Eltern wichtig, um dieses Konzept zu verstehen. Sie können die Methode wählen, die zu den Zahlen passt, mit denen Sie es zu tun haben.
Listen Sie Vielfache kleiner Zahlen auf
Die Listing-Methode eignet sich am besten für die Arbeit mit kleinen, überschaubaren Ganzzahlen. Nehmen Sie zwei Zahlen, sagen wir 3 und 4, und schreiben Sie deren Vielfache der Reihe nach auf.
Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Suchen Sie nach Duplikaten. Beide Listen haben 12. Wir benötigen das kleinste gemeinsame Vielfache, also hören wir hier auf.
mcm(3, 4) = 12
Es ist ganz einfach. Doch was passiert, wenn die Zahl steigt?
Primfaktorzerlegung für größere Zahlen
Wenn die Zahlen wachsen, wird es mühsam, mehrere aufzuzählen. Eine andere Methode verwendet die Primfaktorzerlegung. Zerlegen Sie die Zahlen in ihre Grundbausteine.
Beginnen Sie mit 12 und 16. Teilen Sie diese durch die kleinste Primzahl, 2. Teilen Sie weiter durch 2, bis das Ergebnis eine ganze Zahl ist.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Sie können 3 durch 2 nicht gleichmäßig teilen. Gehen Sie zur nächsten Primzahl, also 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Dieser Vorgang wird fortgesetzt, bis 1 erreicht ist. Durch den Vergleich der Primfaktoren können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache ermitteln, ohne eine endlose Reihe von Zahlen aufzählen zu müssen.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 15 und 25
Bei größeren Zahlen wird die Auflistung von Vielfachen mühsam. Aus diesem Grund ist die Primfaktorzerlegung hier so wirkungsvoll. Lassen Sie uns 15 und 25 aufschlüsseln und sehen, was sich darunter befindet.
Beginnen Sie mit Nummer 15. Diese teilt sich sauber in 3 und 5 auf. Beide sind erstklassig.
Schauen Sie sich nun 25 an. Es ist 5** multipliziert mit sich selbst, oder $5^2$.
Das Ziel besteht darin, die höchste Potenz jedes Elements in der Liste auszuwählen.
Bei der Anfangszahl 3 kommt es nur in der ersten Zahl (15) vor. Deshalb führen wir 3 ein.
Für die Primzahl 5 hat 15 $5^1$ und 25 $5^2$. Der höchste Exponent ist 2. Daher nehmen wir $5^2$ (oder 25).
Multiplizieren Sie diese miteinander:
$3 \times 25 = 75$
Daher ist lcm(15, 25) = 75.
Diese Methode funktioniert, weil jede ursprüngliche Zahl das Ergebnis gleichmäßig teilt. Dies ist schneller als das Aufschreiben langer Listen mit Vielfachen, insbesondere wenn die Zahl mehr als drei Ziffern hat.
Für Primzahlen
Was wäre, wenn Sie gebeten würden, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen zu finden? Wie 2 und 5?
Es ist einfach. Multiplizieren Sie sie einfach. Warum? Dies liegt daran, dass eine Primzahl keine anderen Teiler als 1 und sich selbst hat. Es lässt sich nicht weiter aufteilen. Es gibt keine gemeinsame „Gemeinsamkeit“, über die man sich Sorgen machen müsste, also kombinieren Sie sie.
$2 \times 5 = 10$
Daher ist lcm(2, 5) = 10.
Mit dieser Verknüpfung sparen Sie Zeit. Wenn Sie in der Aufgabe zwei Primzahlen finden, denken Sie nicht zu viel darüber nach. Multiplizieren. Sie erhalten das LCM sofort.
Praktische Anwendung: Zeitpläne und Zyklen
Warum ist das außerhalb der Hausaufgaben wichtig? Denken Sie an Zyklen.
Stellen Sie sich zwei Busse vor. Bus A fährt alle 15 Minuten. Bus B kommt alle 25 Minuten. Sie haben beide gerade gemeinsam den Bahnhof verlassen. Wann werden sie sich wiedersehen?
Das hast du gerade berechnet. Die Antwort ist 75 Minuten.
Diese Logik gilt für Übersetzungsverhältnisse, Planetenumlaufbahnen und sogar den Rhythmus der Musik. Wenn Sie verstehen, wie die Zahlen interagieren, können Sie vorhersagen, wann verschiedene Systeme synchronisiert werden.
Wenn Sie Student sind, üben Sie die Methode der Primfaktorzerlegung, bis Sie das Gefühl haben, dass sie sich automatisch ändert. Es ist das leistungsstärkste Werkzeug, das Sie haben. Es funktioniert sowohl für kleine als auch für große Zahlen. Die Listenmethode eignet sich hervorragend für Anfänger, ist jedoch nicht skalierbar.
Übe weiter. Diese Muster kommen Ihnen vielleicht bekannt vor. Verfallen Sie nicht in Panik, wenn Sie das nächste Mal auf ein komplexes LCM-Problem stoßen. Du wirst es einfach aufschlüsseln.
Wir haben den vorherigen Abschnitt abgeschlossen, indem wir die größten Exponentenfaktoren (3 und 5²) genommen und sie multipliziert haben. Dies ergibt das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von 15 und 25 : 75. Als nächstes gehen wir zur eigentlichen Anwendung über.
Für Primzahlen
Schauen wir uns Übung 3 an. Wir benötigen das kleinste gemeinsame Vielfache von 7 und 11. Die Antwort ist 77.
Aber warum ist diese Methode so einfach?
Schauen Sie sich zunächst die Zahlen an. 7 und 11 sind beide Primzahlen. Dies bedeutet, dass sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind. Da es außer 1 keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist keine komplexe Faktorisierung erforderlich.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen zu finden, multiplizieren Sie sie.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
Es ist ganz einfach. Keine Primfaktorisierungsbäume erforderlich. Direkte Multiplikation zweier verschiedener Primzahlen.
Verwendung der Listing-Methode für kleine Mengen
In Übung 4 müssen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 6 und 8 ermitteln. Das Ergebnis ist 24.
Da diese Zahlen klein sind, ist die Listenmethode schneller als die Berechnung von Primfaktoren. Schreiben Sie einfach die Vielfachen jeder Zahl auf, bis Sie die erste gemeinsame Zahl gefunden haben.
Die Liste sollte so aussehen:
- Vielfaches von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Vielfache von 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Sie werden feststellen, dass sie sich überschneiden. 12 erscheint in den Listen 4 und 6. 48 kommt in allen drei vor. Sie möchten jedoch das kleinste gemeinsame Vielfache. Durchsuchen Sie die Liste, um die erste Zahl zu finden, die in jeder Spalte erscheint.
Diese Zahl ist 24.
mcm(4,6,8) = 24
Dieser Ansatz funktioniert gut für kleine ganze Zahlen, wird jedoch für große Zahlen mühsam. Dann wechseln Sie wieder zur Primfaktorzerlegung.
Primfaktorzerlegung für größere Zahlen
Übung 5 erhöht den Schwierigkeitsgrad. Wir benötigen die LCM von 30, 45 und 54. Die Antwort ist 270.
Wenn die Zahlen groß sind, ist die Auflistung von Vielfachen ineffizient. Faktorisieren Sie stattdessen jede Zahl einzeln. Bestimmen Sie als Nächstes den größten Exponenten jedes Primfaktors einer beliebigen Zahl.
Lassen Sie uns jede Zahl aufschlüsseln.
- 30 Faktoren in 2 x 3 x 5
- 45 Faktoren ergeben 3² x 5
- 54 Faktoren ergeben 2 x 3³
Mal sehen
Der Prozess vereinfacht die Identifizierung der Faktoren, bevor sie die Zahlen miteinander vergleichen. Wenn Sie 30 und 54 Jahre alt sind, können Sie einen Wert von 2 aufteilen, dieser Wert wird für die Berechnung des kleinsten Gesamtbetrags (mcm) benötigt. Es ist nicht nötig, es zu wiederholen.
In der Regel sind es 30 und 45 mit einem Faktor von: 5. Es gibt keine andere Nummer in der Kombination, die diesen Faktor mit einem größeren Exponenten darstellt. Daher ist es auch in der Berechnung enthalten.
Der Fall des Faktors 3
Schließlich sind es drei Zahlen, die den Faktor 3 umfassen. Das ist nicht viel, was verwirrend ist. 54 ist dieser Faktor mit dem höchsten Exponenten (3³, oder 27). Daher verwenden wir diesen speziellen Wert für die Berechnung des mcm im Alter von 3 oder 3².
Der Titel ist klar: Sie müssen das Potenzial jedes einzelnen Faktors erhöhen.
Die endgültige Berechnung
Mit allen Elementen in diesem Jahr ist die Operation wie folgt:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Das Ergebnis ist 270. Wenn es sich um eine Logik zur Berechnung des maximalen Exponenten handelt, können Sie es immer in Verbindung mit den Zahlen anwenden. Wie viele andere möchten Sie mit dieser Methode üben?
