Tato otázka zaměstnává ty nejbystřejší mysli od počátku století. Navrhl to Henri Poincaré v roce 1904. Pokusil se klasifikovat odrůdy, ale narazil na zeď. Trojrozměrný prostor se choval jinak, než si dokázal snadno představit. Zajímalo ho, zda všechny jednoduše spojené uzavřené 3-varety topologicky odpovídají 3-sféře. Toto je Poincarého domněnka.
Existuje již dlouhou dobu. Byla to jen hypotéza. Otevřený problém v algebraické topologii. Dnes je to osvědčená věta. Ale dostat se tam trvalo více než 100 let a zahrnovalo některé z nejskvělejších mozků v matematice.
Co tyto pojmy vlastně znamenají?
Abyste tomu porozuměli, nepotřebujete doktorát, ale definice jsou důležité. Zde je návod, jak to rozdělit:
„Jednoduše připojeno“ zní technicky, ale jednoduše to znamená, že v prostoru nejsou žádné díry. Představte si horkovzdušný balón. Nejsou v něm žádné díry. Kobliha má dírku. Uprostřed koblihy je díra. Balónky se jednoduše spojují.
“Uzavřeno” je přesnější termín. To znamená, že obrazec obsahuje všechny své mezní body. Pokud je dostatečně blízko k libovolné hraně, budou blízko i ostatní body v sadě. Nejsou žádné volné okraje nebo mezery.
3D potrubí je abstraktní verze zakřiveného povrchu. Žijeme v trojrozměrném prostoru. Rozvod je prostor, který lokálně vypadá jako náš prostor, i když globálně je pokroucený.
“Topologická ekvivalence” (neboli homeomorfismus) znamená, že jedna postava může být natažena, zkroucena nebo ohnuta do jiné, aniž by se postava roztrhala nebo slepila její části dohromady. Pokud to dokážete, jsou z topologického hlediska totožné.
3-koule (označená S ³) je množina bodů ve čtyřrozměrném prostoru umístěných v pevné vzdálenosti od počátku. Toto je zobecnění obyčejné sféry do vyšších dimenzí.
Časová osa měření
Tato spekulace se neomezuje pouze na 3D. Poincaré později rozšířil tuto myšlenku na n rozměry. Předpokládal, že každá kompaktní n -rozměrná varieta je homotopická ekvivalentní n -kouli právě tehdy, když je homeomorfní n -kouli. Jednoduše řečeno, n -koule je jediný omezený n -rozměrný prostor bez děr.
Matematici studují problémy jednu dimenzi po druhé.
- Pokud n = 1: To je snadné. Kompaktní, uzavřený, jednoduše připojený jednorozměrný manifold je homeomorfní ke kruhu. Jen.
- Pokud n = 2: Toto je pravidelná koule. Tento problém byl vyřešen v 19. století.
- N ≥ 5: V roce 1961 americký matematik Stephen Smale ukázal, že tento předpoklad platí pro tyto vyšší dimenze. Za tuto práci obdržel Fieldsovu medaili.
- Pokud n = 4: Americký matematik Michael Friedman vyřešil tento problém v roce 1983. Případ 4D je komplikovaný, protože rozměry se vzájemně ovlivňují. Obdržel také Fieldsovu medaili.
- N = 3: Toto je nejtěžší část. Původní Poincarého domněnka.
Řešení pro 3D
Případ n = 3 zůstal nevyřešen, dokud své řešení nenavrhl Grigory Perelman.
Perelman byl ruský matematik. V roce 2002 zveřejnil svůj důkaz na internetu. Původně to nepředložil do recenzovaného časopisu. Zveřejnil to na internetu. To vyvolalo rozruch. Důkazy v nekonvenční podobě musela ověřit matematická komunita.
Ostatní matematici strávili roky testováním jeho práce. Potvrdili, že je to pravda. Důkaz je založen na Ricciho teorii proudění Richarda Hamiltona, kterou Perelman zdokonalil a použil k vyřešení problému.
Perelman obdržel Fieldsovu medaili v roce 2006 za své příspěvky. odmítl. Má také nárok na odměnu 1 milion dolarů od Clay Mathematics Institute (CMI) v Cambridge ve státě Massachusetts. Toto je jedna ze sedmi výzev tisíciletí. Perelman to také odmítl.
Clay Institute se zdráhal poskytnout finanční prostředky, protože Perelman nepublikoval článek v recenzovaném časopise, jak požadovali. Až v roce 2010, kdy jiní matematici publikovali důkaz v recenzovaných časopisech, nabídla CMI cenu 1 milion dolarů. Perelman znovu odmítl.
Proč je to důležité?
Poincarého domněnka není jen odpovědí na kvízovou otázku. Pomáhá nám pochopit tvar vesmíru. Pokud je vesmír trojrozměrnou rozmanitostí, je jednoduše propojený? Má dírky? Nástroje vyvinuté k prokázání této hypotézy změnily topologii. Umožňují matematikům klasifikovat prostory, o kterých se jim dříve jen zdálo.
Ukazuje také, jak se vyvíjela matematika. Smale a Friedman vyřešili část hádanky. Perelman to dokončil. Výhrami ani medailemi ale příběh nekončí. Končí hlubším pochopením samotného prostoru.
