Jika Anda pernah melihat buku pelajaran matematika dan merasa seperti sedang membaca dalam bahasa yang berbeda, Anda tidak sendirian. Aljabar abstrak bisa terasa seperti dinding simbol. Namun dering dalam matematika tidaklah mengintimidasi kedengarannya. Pada intinya, cincin hanyalah sekumpulan angka dengan beberapa aturan khusus tentang perilakunya. Ini adalah kerangka kerja yang membantu matematikawan memahami pola di luar aritmatika sederhana.
Anggaplah cincin sebagai wadah. Di dalam wadah ini, Anda memiliki elemen. Unsur-unsur tersebut dapat berupa bilangan, namun dapat juga berupa matriks, polinomial, atau objek kompleks lainnya. Kuncinya adalah elemen-elemen ini harus mengikuti serangkaian undang-undang operasional yang ketat. Tanpa undang-undang ini, strukturnya akan runtuh.
Aturan Permainan
Untuk memenuhi syarat sebagai sebuah cincin, suatu set harus memenuhi beberapa kondisi yang tidak dapat dinegosiasikan. Ini bukanlah saran. Mereka adalah fondasinya.
Pertama, lihat penjumlahan. Itu harus bersifat komutatif. Artinya urutannya tidak penting. Jika Anda menambahkan a dan b, Anda mendapatkan hasil yang sama seperti menambahkan b dan a. Itu juga harus bersifat asosiatif. Pengelompokan tidak mengubah hasilnya. Menjumlahkan a ke jumlah b dan c sama dengan menjumlahkan a dan b ke c.
“Ring adalah himpunan dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang mengikuti aturan aljabar tertentu, termasuk komutatifitas penjumlahan dan distribusi antara kedua operasi tersebut.”
Namun penambahan saja tidak cukup. Harus ada elemen nol. Ini adalah identitas untuk penambahan. Menambahkan nol pada apa pun akan membuatnya tidak berubah. Selanjutnya setiap elemen pasti ada yang negatif. Saat Anda menambahkan elemen ke negatifnya, Anda kembali ke nol. Hal ini memastikan bahwa pengurangan selalu mungkin dilakukan di dalam ring.
Perkalian dan Distribusi
Perkalian hadir dengan serangkaian batasannya sendiri. Itu harus bersifat asosiatif. Sama seperti penjumlahan, cara mengelompokkan perkalian tidak memengaruhi hasil akhir. a dikalikan (b dikali c ) sama dengan (a dikali b ) dikali c.
Kaitan paling penting antara penjumlahan dan perkalian adalah distributivitas. Hukum ini menghubungkan kedua operasi tersebut. Dinyatakan bahwa a dikalikan (b ditambah c ) sama dengan ab ditambah ac. Ada juga hukum distributif kedua untuk perkalian di ruas kanan: (a ditambah b ) dikali c sama dengan ac ditambah bc. Undang-undang ini memastikan bahwa strukturnya tetap konsisten dan dapat diprediksi.
Perhatikan bahwa gelanggang tidak memerlukan perkalian untuk bersifat komutatif. Di beberapa dering, ab mungkin tidak sama dengan ba. Jika perkalian bersifat komutatif, kita menyebutnya dering komutatif. Perbedaan ini penting dalam matematika tingkat lanjut, namun untuk sebagian besar aplikasi dasar, aturan yang lebih sederhana sudah cukup.
Contoh Bilangan Bulat
Apa contoh cincin yang paling sederhana? Ini mungkin sesuatu yang Anda pelajari di sekolah dasar. Himpunan bilangan bulat yang dilambangkan dengan simbol ℤ membentuk sebuah cincin. Himpunan ini mencakup semua bilangan bulat dan negatifnya: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….
Mari kita uji aturannya. Tambahkan dua bilangan bulat apa pun, dan Anda mendapatkan bilangan bulat. Penambahannya adalah komunikasi
