Diese Frage beschäftigt seit Beginn des Jahrhunderts die klügsten Köpfe. Es wurde 1904 von Henri Poincaré eingeführt. Er versuchte, Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren, stieß aber auf Schwierigkeiten. Der dreidimensionale Raum verhielt sich anders, als er es sich leicht vorstellen konnte. Er fragte sich, ob alle einfach verbundenen geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten topologisch der 3-Kugel entsprachen. Das ist Poincarés Vermutung.
Es war schon lange da. Es ist nur eine Vermutung. Offene Probleme in der algebraischen Topologie. Heute ist dies ein bewiesener Satz. Doch der Weg dorthin dauerte über 100 Jahre und erforderte einige der schärfsten Köpfe der Mathematik.
Was diese Begriffe eigentlich bedeuten
Um das zu verstehen, braucht man keinen Doktortitel, aber Definitionen sind wichtig. So können Sie es aufschlüsseln:
„Einfach verbunden“ klingt technisch, bedeutet aber einfach, dass es keine Lücken im Raum gibt. Denken Sie an einen Ballon. Es gibt keine Löcher. Ein Donut tut es. In der Mitte des Donuts befindet sich ein Loch. Ballons werden einfach verbunden.
„Geschlossen“ ist genauer. Das bedeutet, dass die Form alle ihre Grenzpunkte enthält. Wenn es nahe genug an einer der Kanten liegt, liegen auch die anderen Punkte in der Gruppe nahe beieinander. Es gibt keine losen Kanten oder Lücken.
Der 3D-Verteiler ist eine abstrakte Version einer gekrümmten Oberfläche. Wir leben im 3D-Raum. Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal wie unser Raum aussieht, obwohl er global verdreht ist.
„Topologische Äquivalenz“ (oder Homöomorphismus) bedeutet, dass eine Form gestreckt, verdreht oder in eine andere gebogen werden kann, ohne dass die Form zerreißt oder die Teile zusammenkleben. Wenn Sie das können, sind sie aus topologischer Sicht identisch.
Eine 3-Kugel (bezeichnet mit S 3) ist eine Menge von Punkten im vierdimensionalen Raum, die einen festen Abstand vom Ursprung haben. Dies ist eine hochdimensionale Verallgemeinerung einer regulären Kugel.
Zeitleiste der Dimensionen
Diese Spekulation ist nicht auf 3D beschränkt. Poincaré erweiterte diese Idee später auf n Dimensionen. Er schlug vor, dass jede kompakte n -dimensionale Mannigfaltigkeit genau dann homotopieäquivalent zur n -Sphäre ist, wenn sie homöomorph zur n -Sphäre ist. Einfach ausgedrückt ist eine n -Kugel ein nur begrenzter n -dimensionaler Raum ohne Löcher.
Mathematiker untersuchen Probleme in einer Dimension nach der anderen.
- **Wenn n = 1: ** Das ist einfach. Eine kompakte, geschlossene, einfach zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu einem Kreis. Einfach.
- **Wenn n = 2: ** Dies ist eine gewöhnliche Kugel. Dieses Problem wurde im 19. Jahrhundert gelöst.
- N ≥ 5: 1961 zeigte der amerikanische Mathematiker Stephen Smale, dass diese Annahme für diese höheren Dimensionen zutrifft. Für diese Arbeit gewann er die Fields-Medaille.
- Wenn n = 4: Der amerikanische Mathematiker Michael Freedman hat dieses Problem 1983 gelöst. 4D-Fälle sind schwierig, weil die Dimensionen interagieren. Er gewann auch die Fields-Medaille.
- N = 3: Das ist der schwierigste Teil. Poincarés ursprüngliche Vermutung.
3D-Lösung
Der n = 3-Fall blieb ungelöst, bis Grigori Perelman ihn vorschlug.
Perelman war ein russischer Mathematiker. Im Jahr 2002 veröffentlichte er seinen Beweis online. Er reichte es zunächst nicht bei einer von Experten begutachteten Zeitschrift ein. Er hat es im Internet veröffentlicht. Das sorgte für Aufsehen. Beweise in nicht-traditionellen Formen mussten von der mathematischen Gemeinschaft überprüft werden.
Andere Mathematiker verbrachten Jahre damit, seine Arbeit zu überprüfen. Sie bestätigten, dass dies richtig sei. Der Beweis basiert auf der Ricci-Strömungstheorie von Richard Hamilton, die Perelman verfeinerte und zur Lösung des Problems anwendete.
Für seine Verdienste erhielt Perelman 2006 die Fields-Medaille. er weigerte sich. Er hat außerdem Anspruch auf eine Belohnung in Höhe von 1 Million US-Dollar vom Clay Mathematics Institute (CMI) in Cambridge, Massachusetts. Dies ist eines der sieben Millenniumsprobleme. Auch Perelman lehnte dies ab.
CMI zögerte, die Finanzierung zu belohnen, da Perelman einen Artikel nicht wie gefordert in einer von Experten begutachteten Zeitschrift veröffentlichte. Erst 2010, als andere Mathematiker ihre Bestätigungen in Fachzeitschriften veröffentlichten, setzte CMI einen Preis in Höhe von 1 Million US-Dollar aus. Perelman lehnte erneut ab.
Warum ist es wichtig?
Poincarés Vermutung ist nicht nur eine triviale Antwort. Es hilft uns, die Form des Universums zu verstehen. Wenn das Universum eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit ist, ist es dann einfach zusammenhängend? Gibt es Löcher? Die zum Beweis dieser Vermutung entwickelten Werkzeuge haben die Topologie verändert. Sie ermöglichen es Mathematikern, Räume zu klassifizieren, von denen sie bisher nur geträumt hatten.
Es zeigt auch, wie sich die Mathematik entwickelte. Smale und Freedman haben einen Teil des Rätsels gelöst. Perelman hat es beendet. Aber die Geschichte endet nicht mit Preisgeldern oder Medaillen. Es endet mit einem tieferen Verständnis des Raums selbst.
