Você tem que adicionar frações. Você está olhando para o denominador. eles são diferentes. Isso é muito chato.
A solução está em um conceito que a maioria dos estudantes teme, mas no qual na verdade confia o tempo todo. Este é o mínimo múltiplo comum, geralmente abreviado como LCM ou mcm em espanhol.
Deixemos o jargão acadêmico de lado. O Mínimo Múltiplo Comum é o menor número divisível por dois ou mais números inteiros. Sem restos. Apenas limpe a divisão.
Qual é o mínimo múltiplo comum?
Não entre em pânico se você vir mcm(a, b) = x. Significa simplesmente:
- a e b são números iniciais (números naturais).
- x é o menor resultado divisível por a e b.
Vejamos os números 2 e 3, por exemplo.
Liste os múltiplos do número 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Liste os múltiplos do número 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Veja onde suas listas se sobrepõem. O primeiro número que aparece em ambas as listas é 6.
Portanto mcm(2, 3) = 6.
Você pode expandir isso tanto quanto precisar. Dois ou três números são padrão, mas a lógica também se aplica a quatro, cinco ou mais números. O objetivo é o mesmo: encontrar o menor múltiplo compartilhado.
Por que precisamos disso?
Isso é mais do que apenas um exercício matemático. Mínimo Múltiplo Comum tem uma aplicação importante no mundo real: adição e subtração de frações.
1/2 e 1/3 não podem ser adicionados diretamente. O denominador é diferente. Para resolver este problema, precisamos encontrar um denominador comum. A escolha mais inteligente? O mínimo múltiplo comum desses denominadores. Mantenha os números pequenos e os cálculos mais eficientes.
Três maneiras de calcular o mínimo múltiplo comum
Não existe um caminho “certo”. Exatamente o que funciona para o cérebro. Aqui estão os três métodos mais eficazes.
1. Listagem de múltiplos
Este é o método mais intuitivo para iniciantes.
- Escreva o múltiplo do primeiro número.
- Escreva o múltiplo do segundo número.
- Encontre o primeiro número em ambas as listas.
4 e 6 :
* Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16…
* Múltiplos de 6: 6, 12, 18…
A primeira correspondência é 12. Portanto mcm(4, 6) = 12.
Isso funciona bem para números pequenos. Se o número for grande, falhará.
2. Fatoração Primária
Esta é uma abordagem eficaz. Pode ser expandido.
- Divida cada número em seus fatores primos.
- Obtenha todos os primos exclusivos da lista.
- Use a maior potência encontrada para cada fator primo.
- Multiplique-os.
**mcm(12,
Encontrar o mínimo múltiplo comum não precisa ser como resolver equações complexas. Identificar padrões numéricos é importante para que alunos e pais entendam esse conceito. Você pode escolher o método adequado aos números com os quais está lidando.
Liste múltiplos de números pequenos
O método de listagem é melhor para trabalhar com números inteiros pequenos e gerenciáveis. Pegue dois números, digamos 3 e 4, e escreva seus múltiplos em ordem.
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Procure duplicatas. Ambas as listas têm 12. Precisamos do mínimo múltiplo comum, então vamos parar por aí.
mcm(3, 4) = 12
É muito simples. Mas o que acontece quando o número aumenta?
Fatoração prima para números maiores
À medida que os números crescem, torna-se tedioso listar vários. Outro método usa fatoração primária. Divida os números em seus blocos de construção principais.
Comece com 12 e 16. Divida-os pelo menor número primo, 2. Continue dividindo por 2 até que o resultado seja um número inteiro.
- 12÷2 = 6
- 6÷2 = 3
Você não pode dividir 3 por 2 igualmente. Passe para o próximo número primo, que é 3.
- 16÷2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4÷2 = 2
- 2÷2 = 1
Esse processo continua até chegar a 1. Ao comparar os fatores primos, você pode determinar o mínimo múltiplo comum sem precisar enumerar uma série infinita de números.
Encontre o menor múltiplo comum de 15 e 25
Ao lidar com números maiores, listar múltiplos torna-se entediante. É por isso que a fatoração primária é tão poderosa aqui. Vamos dividir 15 e 25 e ver o que está por baixo.
Comece com o número 15. Ele se divide perfeitamente em 3 e 5 . Ambos são primordiais.
Agora olhe para 25. É 5** multiplicado por si mesmo, ou $5^2$.
O objetivo é selecionar a maior potência de cada elemento da lista.
Com o número inicial 3, ocorre apenas no primeiro número (15). É por isso que apresentamos 3.
Para 5 primos, 15 tem $5^1$ e 25 tem $5^2$. O expoente mais alto é 2. Portanto, tomamos $5^2$ (ou 25).
Multiplique estes juntos:
$3 \vezes 25 = 75$
Portanto lcm(15, 25) = 75.
Este método funciona porque cada número original divide o resultado igualmente. É mais rápido do que escrever longas listas de múltiplos, especialmente se o número tiver mais de 3 dígitos.
Para números primos
E se lhe pedissem para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números primos? Tipo 2 e 5?
É fácil. Basta multiplicá-los. Por que? Isso ocorre porque um número primo não possui divisores além de 1 e ele mesmo. Não pode ser mais dividido. Não há “pontos comuns” compartilhados com os quais se preocupar, então combine-os.
$2 \vezes 5 = 10$
Portanto lcm(2, 5) = 10.
Este atalho economizará seu tempo. Se você encontrar dois números primos no problema, não pense muito nisso. Multiplicar. Você obtém o LCM imediatamente.
Aplicação prática: Horários e ciclos
Por que isso é importante fora do dever de casa? Pense em ciclos.
Imagine dois ônibus. O ônibus A passa a cada 15 minutos. O ônibus B chega a cada 25 minutos. Os dois acabaram de sair da estação juntos. Quando eles se encontrarão novamente?
Você acabou de calcular isso. A resposta é 75 minutos.
Essa lógica se aplica a relações de transmissão, órbitas planetárias e até mesmo ao ritmo da música. Compreender como os números interagem pode ajudá-lo a prever quando diferentes sistemas serão sincronizados.
Se você é estudante, pratique o método de fatoração primária até sentir que ele muda automaticamente. É a ferramenta mais poderosa que você tem. Funciona tanto para números pequenos quanto para números grandes. O método de lista é ótimo para iniciantes, mas não é escalonável.
Continue praticando. Esses padrões podem parecer familiares. Não entre em pânico na próxima vez que encontrar um problema complexo de LCM. Você simplesmente vai decompô-lo.
Concluímos a seção anterior pegando os maiores fatores expoentes (3 e 5²) e multiplicando-os. Isso nos dá o Mínimo Múltiplo Comum (MCC) de 15 e 25: 75. Em seguida, passamos para a aplicação real.
Para números primos
Vejamos o exercício 3. Precisamos do mínimo múltiplo comum de 7 e 11. A resposta é 77.
Mas por que esse método é tão fácil?
Primeiro, observe os números. 7 e 11 são ambos números primos. Isso significa que eles só são divisíveis por si próprios e por 1. Como não existem fatores comuns além de 1, não há necessidade de fazer fatorações complexas.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum de dois números primos, multiplique-os.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
É muito simples. Não são necessárias árvores de fatoração primária. Multiplicação direta de dois números primos diferentes.
Usando o método de listagem para conjuntos pequenos
O Exercício 4 pede que você encontre o mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8. O resultado é 24.
Como esses números são pequenos, o método de lista é mais rápido que o cálculo de fatores primos. Basta escrever os múltiplos de cada número até encontrar o primeiro número comum.
A lista deve ficar assim:
- Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Você notará que eles se sobrepõem. 12 aparece nas listas 4 e 6. 48 aparece em todos os três. No entanto, você deseja o menor múltiplo comum. Examine a lista para encontrar o primeiro número que aparece em cada coluna.
Esse número é 24.
mcm(4,6,8) = 24
Essa abordagem funciona bem para números inteiros pequenos, mas se torna entediante para números grandes. É quando você volta para a fatoração primária.
Fatoração Prime para Números Maiores
O exercício 5 aumenta o nível de dificuldade. Precisamos do MMC de 30, 45 e 54. A resposta é 270.
Se os números forem grandes, listar múltiplos é ineficiente. Em vez disso, fatore cada número separadamente. A seguir, determine o maior expoente de cada fator primo de qualquer número.
Vamos decompor cada número.
- 30 fatores em 2 x 3 x 5
- 45 fatores em 3² x 5
- 54 fatores em 2 x 3³
Vamos ver
O processo simplifica a identificação dos fatores primos que comparam os números. Como 30 e 54 solo pode ser dividido uma vez por 2, esse valor é tomado para o cálculo do mínimo comum múltiplo (mcm). Não se repita nem se eleve mais do que o necessário.
Da mesma forma, 30 e 45 têm um fator comum: 5. Não existe outro número no conjunto que represente esse fator com um expoente maior. Por isso, também foi incluído no cálculo.
O caso do fator 3
Finalmente, os três números comparam o fator 3. Aqui é onde muita gente se confunde. 54 tem este fator com o expoente mais alto (3³, ou 27). Por isso, utiliza-se esse valor específico para calcular o mcm, em vez de 3 ou 3².
A regra é clara: sempre toma a potência mais alta de cada fator primo.
O cálculo final
Com todos os elementos em seu lugar, a operação fica assim:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
O resultado é 270. Se você seguir esta lógica de escolher o expoente máximo, poderá aplicá-lo a qualquer conjunto de números. Quais outros números você gostaria de praticar com este método?
