Anda harus menjumlahkan pecahan. Anda sedang melihat penyebutnya. mereka berbeda. Ini sangat menjengkelkan.
Solusinya terletak pada konsep yang ditakuti sebagian besar siswa, namun sebenarnya selalu diandalkan. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil, sering disingkat LCM atau mcm dalam bahasa Spanyol.
Mari kita kesampingkan jargon akademis. Kelipatan Persekutuan Terkecil adalah bilangan terkecil yang habis dibagi dua bilangan bulat atau lebih. Tidak ada sisa. Hanya pembagian yang bersih.
Berapakah kelipatan persekutuan terkecil?
Jangan panik jika Anda melihat mcm(a, b) = x. Artinya:
- a dan b adalah bilangan awal (bilangan asli).
- x adalah hasil terkecil yang habis dibagi a dan b.
Mari kita ambil angka 2 dan 3 sebagai contoh.
Sebutkan kelipatan bilangan 2 : 2, 4, 6, 8, 10…
Sebutkan kelipatan bilangan 3 : 3, 6, 9, 12, 15…
Lihat di mana daftar Anda tumpang tindih. Angka pertama yang muncul di kedua daftar adalah 6.
Oleh karena itu mcm(2, 3) = 6.
Anda dapat mengembangkannya sebanyak yang Anda perlukan. Dua atau tiga angka adalah standar, tetapi logikanya juga berlaku untuk empat, lima angka atau lebih. Tujuannya sama, mencari kelipatan bersama terkecil.
Mengapa kita membutuhkan ini?
Ini lebih dari sekedar latihan matematika. Kelipatan Persekutuan Terkecil memiliki satu penerapan penting di dunia nyata: penjumlahan dan pengurangan pecahan.
1/2 dan 1/3 tidak dapat dijumlahkan secara langsung. Penyebutnya berbeda. Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari penyebut yang sama. Pilihan paling cerdas? Kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut ini. Jaga agar angkanya tetap kecil dan penghitungannya lebih efisien.
Tiga cara menghitung kelipatan persekutuan terkecil
Tidak ada satu cara yang “benar”. Apa yang berhasil untuk otak. Berikut adalah tiga metode yang paling efektif.
1. Daftar Kelipatan
Ini adalah metode paling intuitif untuk pemula.
- Tulislah kelipatan bilangan pertama.
- Tuliskan kelipatan bilangan kedua.
- Temukan angka pertama di kedua daftar.
4 dan 6 :
* Kelipatan 4 : 4, 8, 12, 16…
* Kelipatan 6 : 6, 12, 18…
Pertandingan pertama adalah 12. Oleh karena itu mcm(4, 6) = 12.
Ini berfungsi baik untuk jumlah kecil. Jika jumlahnya besar, maka akan gagal.
2. Faktorisasi Prima
Ini adalah pendekatan yang efektif. Dapat diperluas.
- Pecahkan setiap bilangan menjadi faktor primanya.
- Dapatkan semua bilangan prima unik dalam daftar.
- Gunakan pangkat tertinggi yang ditemukan untuk setiap faktor prima.
- Lipat gandakan keduanya.
**mcm(12,
Menemukan kelipatan persekutuan terkecil tidak harus seperti menyelesaikan persamaan rumit. Mengidentifikasi pola bilangan penting bagi siswa dan orang tua untuk memahami konsep ini. Anda dapat memilih metode yang sesuai dengan angka yang Anda hadapi.
Daftar kelipatan bilangan kecil
Metode pencatatan adalah yang terbaik untuk bekerja dengan bilangan bulat kecil yang dapat dikelola. Ambil dua angka, katakanlah 3 dan 4, dan tuliskan kelipatannya secara berurutan.
Kelipatan 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Cari duplikat. Kedua daftar tersebut mempunyai angka 12. Kita memerlukan kelipatan persekutuan terkecil, jadi kita akan berhenti di situ.
mcm(3, 4) = 12
Ini sangat sederhana. Namun apa jadinya bila jumlahnya bertambah?
Faktorisasi prima untuk bilangan yang lebih besar
Ketika jumlahnya bertambah, menjadi membosankan untuk menyebutkan beberapa di antaranya. Metode lain menggunakan faktorisasi prima. Pecahkan angka-angka tersebut menjadi blok-blok penyusun utamanya.
Mulailah dengan 12 dan 16. Bagilah dengan bilangan prima terkecil, 2. Lanjutkan membagi dengan 2 hingga hasilnya bilangan bulat.
- 12 2 = 6
- 6 2 = 3
Anda tidak dapat membagi 3 dengan 2 secara merata. Pindah ke bilangan prima berikutnya, yaitu 3.
- 16 2 = 8
- 8 2 = 4
- 4 2 = 2
- 2 2 = 1
Proses ini berlanjut hingga mencapai 1. Dengan membandingkan faktor-faktor prima, Anda dapat menentukan kelipatan persekutuan terkecil tanpa harus menyebutkan rangkaian bilangan yang tak ada habisnya.
Temukan kelipatan persekutuan terkecil dari 15 dan 25
Saat berhadapan dengan angka yang lebih besar, membuat daftar kelipatan menjadi membosankan. Inilah sebabnya mengapa faktorisasi prima sangat berpengaruh di sini. Mari kita uraikan 15 dan 25 dan lihat apa yang ada di bawahnya.
Mulailah dengan nomor 15. Ini terbagi rapi menjadi 3 dan 5 . Keduanya prima.
Sekarang lihat 25. Ini adalah 5** dikalikan dengan dirinya sendiri, atau $5^2$.
Tujuannya adalah untuk memilih kekuatan tertinggi dari setiap elemen dalam daftar.
Dengan angka awal 3 hanya muncul pada angka pertama (15). Itu sebabnya kami memperkenalkan 3.
Untuk bilangan prima 5, 15 memiliki $5^1$ dan 25 memiliki $5^2$. Eksponen tertinggi adalah 2. Oleh karena itu, kita ambil $5^2$ (atau 25).
Lipat gandakan ini bersama-sama:
$3 \kali 25 = 75$
Jadi lcm(15, 25) = 75.
Cara ini berhasil karena setiap bilangan asli membagi hasilnya secara merata. Ini lebih cepat daripada menulis daftar kelipatan yang panjang, terutama jika angkanya lebih dari 3 digit.
Untuk bilangan prima
Bagaimana jika Anda diminta mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima? Seperti 2 dan 5?
Itu mudah. Lipat gandakan saja. Mengapa? Hal ini karena bilangan prima tidak mempunyai pembagi selain 1 dan dirinya sendiri. Hal ini tidak dapat dibagi lagi. Tidak ada “kesamaan” yang perlu dikhawatirkan, jadi gabungkanlah keduanya.
$2 \kali 5 = 10$
Oleh karena itu lcm(2, 5) = 10.
Pintasan ini akan menghemat waktu Anda. Jika Anda menemukan dua bilangan prima dalam soal, jangan terlalu memikirkannya. Berkembang biak. Anda mendapatkan KPK segera.
Aplikasi praktis: Jadwal dan siklus
Mengapa hal ini penting di luar pekerjaan rumah? Pikirkan siklus.
Bayangkan dua bus. Bus A berangkat setiap 15 menit. Bus B tiba setiap 25 menit. Mereka berdua baru saja meninggalkan stasiun bersama. Kapan mereka akan bertemu lagi?
Anda baru saja menghitungnya. Jawabannya adalah 75 menit.
Logika ini berlaku untuk rasio roda gigi, orbit planet, dan bahkan ritme musik. Memahami bagaimana angka-angka berinteraksi dapat membantu Anda memprediksi kapan sistem yang berbeda akan disinkronkan.
Jika Anda seorang pelajar, praktikkan metode faktorisasi prima hingga Anda merasa metode tersebut berubah secara otomatis. Ini adalah alat paling ampuh yang Anda miliki. Ini berfungsi untuk jumlah kecil dan besar. Metode daftar sangat bagus untuk pemula, tetapi tidak dapat diskalakan.
Teruslah berlatih. Pola-pola ini mungkin tampak familier. Jangan panik jika nanti Anda menghadapi masalah KPK yang kompleks. Anda hanya akan memecahnya.
Kita menyimpulkan bagian sebelumnya dengan mengambil faktor eksponen terbesar (3 dan 5²) dan mengalikannya. Hasilnya adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 15 dan 25 : 75. Selanjutnya, kita beralih ke penerapan sebenarnya.
Untuk bilangan prima
Mari kita lihat latihan 3. Kita memerlukan kelipatan persekutuan terkecil dari 7 dan 11. Jawabannya adalah 77.
Namun mengapa cara ini begitu mudah?
Pertama, lihat angkanya. 7 dan 11 keduanya bilangan prima. Artinya, bilangan-bilangan tersebut hanya habis dibagi dirinya sendiri dan 1. Karena tidak ada faktor persekutuan selain 1, maka tidak perlu dilakukan faktorisasi yang rumit.
Untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima, kalikan keduanya.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
Ini sangat sederhana. Tidak diperlukan pohon faktorisasi prima. Perkalian langsung dari dua bilangan prima yang berbeda.
Menggunakan Metode Daftar untuk Kumpulan Kecil
Latihan 4 meminta Anda mencari kelipatan persekutuan terkecil dari 4, 6, dan 8. Hasilnya adalah 24.
Karena bilangan-bilangan ini kecil, metode daftar lebih cepat dibandingkan menghitung faktor prima. Tulis saja kelipatan setiap bilangan sampai Anda menemukan bilangan persekutuan pertama.
Daftarnya akan terlihat seperti ini:
- Kelipatan 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Kelipatan 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Kelipatan 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Anda akan melihat bahwa keduanya tumpang tindih. 12 muncul di daftar 4 dan 6. 48 muncul di ketiganya. Namun, Anda menginginkan kelipatan persekutuan terkecil. Pindai daftar untuk menemukan nomor pertama yang muncul di setiap kolom.
Angka itu adalah 24.
mcm(4,6,8) = 24
Pendekatan ini bekerja dengan baik untuk bilangan bulat kecil, namun menjadi membosankan untuk bilangan bulat besar. Saat itulah Anda beralih kembali ke faktorisasi prima.
Faktorisasi Prima untuk Bilangan Besar
Latihan 5 meningkatkan tingkat kesulitan. Kita membutuhkan KPK 30, 45, dan 54. Jawabannya 270.
Jika jumlahnya besar, pencatatan kelipatannya tidak efisien. Sebaliknya, faktorkan setiap angka secara terpisah. Selanjutnya, tentukan eksponen terbesar dari setiap faktor prima suatu bilangan.
Mari kita uraikan setiap angkanya.
- 30 faktorkan menjadi 2 x 3 x 5
- 45 faktorkan menjadi 3² x 5
- 54 faktorkan menjadi 2 x 3³
Mari kita lihat
Prosesnya disederhanakan dengan mengidentifikasi faktor-faktor yang pertama kali dibandingkan dengan angka-angka tersebut. Seperti 30 dan 54 sendirian jika Anda dapat membaginya sekali saja 2, ini adalah nilai yang sama untuk perhitungan minimum sebagai multiplo (mcm). Tidak ada pengulangan yang lebih tinggi dari yang Anda perlukan.
Dengan cara yang sama, 30 dan 45 memiliki faktor yang sama: 5. Tidak ada angka lain pada saat yang sama yang menimbulkan faktor ini dengan walikota yang eksponen. Oleh karena itu, juga termasuk dalam perhitungan.
Jika ada faktor 3
Terakhir, tiga angka tersebut dibagi dengan faktor 3. Ini tidak banyak membingungkan orang. 54 ini faktornya dengan eksponen yang lebih tinggi (3³, o 27). Oleh karena itu, saya menggunakan nilai khusus ini untuk menghitung mcm, di tempat 3 atau 3².
Aturannya jelas: pastikan potensi Anda lebih tinggi dari setiap faktor pertama.
Hitungan terakhir
Dengan semua elemen di tempatnya, pengoperasiannya seperti ini:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Hasilnya adalah 270. Jika Anda secara logis memilih eksponen maksimum, Anda dapat menerapkannya ke nomor mana pun. Berapa banyak orang lain yang ingin berlatih dengan metode ini?
