Musisz dodać ułamki. Patrzysz na mianowniki. Są inni. To bardzo denerwujące.
Rozwiązanie leży w koncepcji, której boi się większość uczniów, ale z której stale korzysta. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność, często określana w skrócie LCM (lub mcm w języku hiszpańskim).
Odłóżmy na bok akademicki żargon. Najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza liczba podzielna przez dwie lub więcej liczb całkowitych. Żadnych resztek. Po prostu czysty podział.
Jaka jest najmniejsza wspólna wielokrotność?
Nie panikuj, jeśli zobaczysz wpis NOK(a, b) = x. Oznacza to po prostu:
- a i b to liczby oryginalne (liczby naturalne).
- x to najmniejszy wynik podzielny przez obie liczby a i b.
Weźmy jako przykład liczby 2 i 3.
Wymieńmy wielokrotności 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Wymieńmy wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Zobacz, gdzie Twoje listy się pokrywają. Pierwsza liczba pojawiająca się na obu listach to 6.
Zatem NOK(2, 3) = 6.
Możesz rozszerzyć to do dowolnej liczby liczb. Dwie lub trzy liczby to standard, ale logika dotyczy również czterech, pięciu i więcej liczb. Cel jest ten sam: znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność.
Dlaczego tego potrzebujemy?
To coś więcej niż tylko ćwiczenie matematyczne. Najmniejsza wspólna wielokrotność ma jedno ważne zastosowanie praktyczne: dodawanie i odejmowanie ułamków.
Nie można bezpośrednio dodać 1/2 i 1/3. Mianowniki są różne. Aby rozwiązać ten problem, musimy znaleźć wspólny mianownik. Najmądrzejszy wybór? Najmniejsza wspólna wielokrotność tych mianowników. Staraj się, aby liczby były małe, a obliczenia wydajniejsze.
Trzy sposoby obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności
Nie ma jednego „właściwego” sposobu. To, co najlepiej pasuje do Twojego myślenia. Oto trzy najskuteczniejsze metody.
1. Wyszukiwanie wielokrotności
Jest to najbardziej intuicyjna metoda dla początkujących.
- Zapisz wielokrotności pierwszej liczby.
- Zapisz wielokrotności drugiej liczby.
- Znajdź pierwszą liczbę znajdującą się na obu listach.
4 i 6 :
* Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16…
* Wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18…
Pierwszy wynik to 12. Zatem NOK(4, 6) = 12.
Ta metoda działa dobrze w przypadku małych liczb. Jeśli liczby są duże, to nie zadziała.
2. Rozkład na czynniki pierwsze
Jest to skuteczne podejście. Można go rozbudować.
- Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze.
- Weź z listy wszystkie unikalne czynniki pierwsze.
- Dla każdego czynnika pierwszego użyj największej napotkanej mocy.
- Pomnóż je.
NOK(12,
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności nie musi być tak trudne, jak rozwiązywanie złożonych równań. Ważne jest, aby uczniowie i rodzice zrozumieli tę koncepcję poprzez identyfikację wzorców numerycznych. Możesz wybrać metodę, która najlepiej sprawdza się w przypadku liczb, z którymi pracujesz.
Wyświetlanie wielokrotności małych liczb
Metoda wyliczania najlepiej nadaje się do pracy z małymi, łatwymi do zarządzania liczbami całkowitymi. Weźmy dwie liczby, na przykład 3 i 4, i zapiszmy ich wielokrotności w kolejności rosnącej.
Wielokrotności liczby 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Poszukaj zapałek. Obie listy zawierają liczbę 12. Chcemy najmniejszej wspólnej wielokrotności, więc na tym poprzestaniemy.
NOK(3, 4) = 12
To bardzo proste. Ale co się stanie, gdy liczby staną się większe?
Rozkład na czynniki pierwsze dla dużych liczb
W miarę wzrostu liczb wypisywanie ich wielokrotności staje się nudne. Inna metoda wykorzystuje faktoryzację pierwszą. Rozłóż liczby na proste składowe.
Zacznijmy od 12 i 16. Podziel te liczby przez najmniejszą liczbę pierwszą, 2. Kontynuuj dzielenie przez 2, aż wynik będzie liczbą całkowitą.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Nie da się podzielić 3 przez 2 bez reszty. Przejdź do następnej liczby pierwszej, czyli 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Proces ten trwa aż do uzyskania wyniku 1. Porównując czynniki pierwsze, można określić najmniejszą wspólną wielokrotność bez konieczności podawania nieskończonej sekwencji liczb.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 15 i 25
Podczas pracy z dużymi liczbami wypisywanie wielokrotności staje się nudne. Dlatego metoda faktoryzacji jest tutaj tak skuteczna. Rozłóżmy liczby 15 i 25 i zobaczmy, z czego się składają.
Zacznijmy od liczby 15. Łatwo rozkłada się ona na 3 i 5. Obydwa czynniki są liczbami pierwszymi.
Rozważmy teraz liczbę 25. Jest ona równa 5 razy sama, czyli 5^2$.
Celem jest wybranie największej potęgi każdego czynnika pierwszego spośród wszystkich rozważanych liczb.
Dla pierwotnego współczynnika 3 występuje on tylko w pierwszej liczbie (15). Dlatego uwzględniamy 3.
Dla czynnika pierwszego wynoszącego 5: w liczbie 15 jest to reprezentowane jako 5^1$, a w liczbie 25 jako 5^2$. Największą potęgą jest 2. Dlatego bierzemy $5^2$ (lub 25).
Pomnóżmy otrzymane czynniki:
3 dolary \ razy 25 = 75 dolarów
Zatem NOK(15, 25) = 75.
Ta metoda działa, ponieważ każda z pierwotnych liczb dzieli wynikowy wynik przez liczbę całkowitą. Jest to szybsze niż tworzenie długich list wielokrotności, zwłaszcza jeśli liczby mają więcej niż trzy cyfry.
Dla liczb pierwszych
Co by było, gdybyś został poproszony o znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb pierwszych? Na przykład 2 i 5?
To proste. Wystarczy je pomnożyć. Dlaczego? Ponieważ liczba pierwsza nie ma dzielników innych niż 1 i ona sama. Nie można go dalej rozwijać. Nie ma wspólnej „bazy” do rozważenia, więc po prostu je łączymy.
2 $ \ razy 5 = 10 $
Zatem NOK(2, 5) = 10.
Ta wskazówka pozwoli Ci zaoszczędzić czas. Jeśli w zadaniu występują dwie liczby pierwsze, nie powinieneś zastanawiać się zbyt długo. Po prostu je pomnóż. Natychmiast otrzymasz NOC.
Zastosowanie praktyczne: harmonogramy i cykle
Dlaczego jest to ważne poza pracą domową? Pomyśl o cyklach.
Wyobraź sobie dwa autobusy. Autobus A odjeżdża co 15 minut. Autobus B przyjeżdża co 25 minut. Obaj opuścili stację w tym samym czasie. Kiedy znów się spotkają?
Właśnie to wymyśliłeś. Odpowiedź: za 75 minut.
Ta logika dotyczy przełożeń maszyn, orbit planet, a nawet rytmu muzyki. Zrozumienie interakcji liczb pomaga przewidzieć, kiedy różne systemy zostaną zsynchronizowane.
Jeśli jesteś studentem, ćwicz metodę faktoringu, aż stanie się ona dla Ciebie automatyczna. To najpotężniejsze narzędzie, jakie posiadasz. Działa zarówno dla małych, jak i bardzo dużych liczb. Iterowanie po wielokrotnościach jest dobre dla początkujących, ale nie skaluje się.
Ćwicz dalej. Te wzorce mogą wydawać Ci się znajome. Nie panikuj, gdy następnym razem napotkasz trudny problem LOC. Po prostu uwzględniasz liczby.
W poprzedniej sekcji zakończyliśmy dyskusję, biorąc czynniki o największych wykładnikach (3 i 5²) i mnożąc je. To dało nam najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) wynoszącą 15 i 25:75. Następnie przechodzimy do zastosowań praktycznych.
Dla liczb pierwszych
Spójrzmy na ćwiczenie 3. Musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 11. Odpowiedź brzmi 77.
Ale dlaczego ta metoda jest taka prosta?
Najpierw spójrz na liczby. Obie liczby 7 i 11 są liczbami pierwszymi. Oznacza to, że dzielą się tylko przez siebie i przez 1. Ponieważ nie ma wspólnych czynników innych niż 1, nie ma potrzeby wykonywania złożonych rozkładów na czynniki.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb pierwszych, pomnóż je.
NOK(7, 11) = 7 x 11 = 77
To bardzo proste. Nie są potrzebne żadne drzewa faktoryzacji pierwszej. Wystarczy bezpośrednie mnożenie dwóch różnych liczb pierwszych.
Używanie metody wyliczania dla małych zestawów liczb
Ćwiczenie 4 polega na znalezieniu najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 4, 6 i 8. Wynik to 24.
Ponieważ liczby te są małe, metoda wyliczania jest szybsza niż obliczanie czynników pierwszych. Po prostu zapisuj wielokrotności każdej liczby, aż znajdziesz pierwszą wspólną liczbę.
Lista powinna wyglądać następująco:
- wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- wielokrotności liczby 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- wielokrotności liczby 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Zauważysz, że nakładają się na siebie. Liczba 12 pojawia się na listach dla pozycji 4 i 6. Liczba 48 pojawia się na wszystkich trzech listach. Potrzebujesz jednak najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przejrzyj listę, aby znaleźć pierwszą liczbę pojawiającą się w każdej kolumnie.
Ta liczba to 24.
NOK(4, 6, 8) = 24
To podejście sprawdza się dobrze w przypadku małych liczb całkowitych, ale staje się nudne w przypadku większych liczb. Wtedy wracasz do faktoringu.
Rozkład na czynniki pierwsze dla dużych liczb
Ćwiczenie 5 zwiększa poziom trudności. Musimy znaleźć LCM liczb 30, 45 i 54. Odpowiedź brzmi 270.
Jeśli liczby są duże, podawanie wielokrotności jest nieskuteczne. Zamiast tego rozważ każdą liczbę osobno. Następnie określ największy wykładnik każdego czynnika pierwszego spośród wszystkich liczb.
Rozłóżmy każdą liczbę.
- 30 rozwija się do 2 x 3 x 5
- 45 rozkłada się do 3² x 5
- 54 składa się do 2 x 3³
Zobaczmy
Proces jest uproszczony poprzez identyfikację wspólnych czynników pierwszych wśród liczb. Ponieważ liczby 30 i 54 można podzielić przez 2 tylko raz, wartość ta jest używana do obliczenia najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Nie jest ono powtarzane ani podnoszone w stopniu wyższym niż jest to konieczne.
Podobnie liczby 30 i 45 mają wspólny mnożnik: 5. Żadna inna liczba w zbiorze nie zawiera tego współczynnika w większym stopniu. Dlatego jest on również uwzględniany w obliczeniach.
Przypadek mnożenia 3
Wreszcie, wszystkie trzy liczby mają wspólny współczynnik 3. W tym miejscu wiele osób się myli. Dla liczby 54 współczynnik ten ma najwyższy stopień (3³, czyli 27). Dlatego do obliczenia LCM używa się tej wartości, a nie 3 czy 3².
Zasada jest jasna: zawsze bierz najwyższą potęgę każdego czynnika pierwszego.
Ostateczne obliczenia
Po uwzględnieniu wszystkich elementów operacja wygląda następująco:
NOK(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Wynik wynosi 270. Jeśli zastosujesz tę logikę przy wyborze maksymalnej mocy, możesz zastosować ją do dowolnego zestawu liczb. Jakie inne liczby chciałbyś poćwiczyć tą metodą?
