Klaus Friedrich Roth was een wiskundige die zijn hele leven heeft bewezen dat sommige getallen moeilijker te benaderen zijn dan andere. Hij werd geboren op 29 oktober 1925 in Breslau, Duitsland. De huidige stad is Wrocław, Polen. Hij stierf op 10 november 2015 in Inverness, Schotland.
Hij werd geboren in Duitsland, maar werd een Britse wiskundige. Hij won de Fields-medaille in 1958. Deze wordt vaak de Nobelprijs voor de wiskunde genoemd. Hij won prijzen voor zijn onderzoek naar de getaltheorie. In het bijzonder loste hij de vraag op hoe dicht rationale getallen bij algebraïsche getallen liggen.
Winnaars van de Educatieve Paths of Fields-medaille
Roth ging niet rechtstreeks naar de top. Hij studeerde aan het Peterhouse College, Universiteit van Cambridge, Engeland. Hij behaalde zijn B.A. daar in 1945. Daarna ging hij naar de Universiteit van Londen. Daar voltooide hij zijn masteropleiding. Hij behaalde zijn Ph.D. in 1948. 1950.
Hij begon zijn carrière aan het University College London. Hij werkte daar van 1948 tot 1966, waarna hij verhuisde naar het Imperial College. Hij werd hoogleraar zuivere wiskunde. Hij vervulde deze functie tot 1988.
De wiskunde achter de medailles
Waarom heeft hij gewonnen? Dit komt neer op rationele benaderingen van algebraïsche getallen.
Dit is de kernvraag. Overweeg elk irrationeel getal. Het heet alfa. Het maakt niet uit of alpha algebraïsch is of niet. Er is altijd een oneindig aantal rationale getallen p gedeeld door q. Deze fracties liggen zeer dicht bij alfa. De regels zijn eenvoudig. De afstand tussen p/q en alfa is kleiner dan 1 gedeeld door q in het kwadraat.
Dit kan worden bewezen met kettingbreuken. De convergenten van de kettingfractie voor alfa spelen deze rol.
Roth keek dieper. Hij vroeg naar de exponent mu. De exponent geeft aan hoe nauwkeurig het getal wordt benaderd. Zoek een benadering van p/q met een fout kleiner dan q, verheven tot de macht mu.
Als mu bar de bovengrens van een dergelijke exponent is, verandert de waarde afhankelijk van het getal.
Joseph Liouville heeft dit probleem in 1844 aangepakt. Hij toonde aan dat mu bar kleiner is dan n. waarbij n de mate van algebraïsche alfa is.
Axel Thue verbeterde dit in 1908. Hij toonde aan dat μ bar kleiner is dan n gedeeld door 2 plus 1.
Carl Ludwig Siegel maakte in 1921 nog een sprong voorwaarts. Hij toonde aan dat μ bar kleiner is dan de vierkantswortel van 2n.
Freeman J. Dyson verbeterde dit verder in 1947. Hij maakte μ bar minder dan de vierkantswortel van 2 maal n.
Toen verscheen Roth. In 1955 toonde hij aan dat mu bar gelijk is aan 2 voor elke algebraïsche alfa.
Dit is geen eenvoudige oplossing. Dit is behoorlijk moeilijk. Los de algebraïsche getalproblemen volledig op.
Voorbij de benaderingsstelling
Roth staat bekend om meer dan alleen dit bewijs. Hij bestudeerde ook gehele reeksen. Hij gebruikte een Selbergzeef. Hij deed onderzoek op het gebied van de analytische getaltheorie.
Hij was co-auteur van een boek
