Il faut additionner des fractions. Vous regardez le dénominateur. ils sont différents. C’est très ennuyeux.
La solution réside dans un concept que la plupart des étudiants redoutent, mais sur lequel ils s’appuient en permanence. Il s’agit du multiple le moins commun, souvent abrégé LCM ou mcm en espagnol.
Laissons de côté le jargon académique. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre divisible par deux nombres entiers ou plus. Aucun reste. Juste une division propre.
Quel est le plus petit commun multiple ?
Ne paniquez pas si vous voyez mcm(a, b) = x. Cela signifie simplement :
- a et b sont des nombres de départ (nombres naturels).
- x est le plus petit résultat divisible par a et b.
Prenons par exemple les nombres 2 et 3.
Énumérez les multiples du nombre 2 : 2, 4, 6, 8, 10…
Énumérez les multiples du nombre 3 : 3, 6, 9, 12, 15…
Voyez où vos listes se chevauchent. Le premier chiffre apparaissant dans les deux listes est 6.
Donc mcm(2, 3) = 6.
Vous pouvez l’étendre autant que vous le souhaitez. Deux ou trois nombres sont standard, mais la logique s’applique également à quatre, cinq nombres ou plus. Le but est le même : trouver le plus petit multiple partagé.
Pourquoi avons-nous besoin de cela ?
C’est bien plus qu’un simple exercice mathématique. Le plus petit commun multiple a une application importante dans le monde réel : l’ajout et la soustraction de fractions.
1/2 et 1/3 ne peuvent pas être ajoutés directement. Le dénominateur est différent. Pour résoudre ce problème, nous devons trouver un dénominateur commun. Le choix le plus intelligent ? Le plus petit commun multiple de ces dénominateurs. Gardez les chiffres petits et les calculs plus efficaces.
Trois façons de calculer le plus petit commun multiple
Il n’existe pas de « bonne » voie. Juste ce qui fonctionne pour le cerveau. Voici les trois méthodes les plus efficaces.
1. Liste des multiples
C’est la méthode la plus intuitive pour les débutants.
- Écrivez le multiple du premier nombre.
- Écrivez le multiple du deuxième nombre.
- Trouvez le premier numéro dans les deux listes.
4 et 6 :
* Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16…
* Multiples de 6 : 6, 12, 18…
La première correspondance est 12. Donc mcm(4, 6) = 12.
Cela fonctionne bien pour les petits nombres. Si le nombre est grand, cela échouera.
2. Factorisation première
Il s’agit d’une approche efficace. Peut être étendu.
- Décomposez chaque nombre en facteurs premiers.
- Obtenez tous les nombres premiers uniques de la liste.
- Utilisez la puissance la plus élevée trouvée pour chaque facteur premier.
- Multipliez-les ensemble.
**mcm(12,
Trouver le plus petit commun multiple ne revient pas nécessairement à résoudre des équations complexes. Identifier les modèles numériques est important pour que les élèves et les parents comprennent ce concept. Vous pouvez choisir la méthode qui convient aux numéros que vous traitez.
Liste des multiples de petits nombres
La méthode de listage est la meilleure pour travailler avec des entiers petits et gérables. Prenez deux nombres, disons 3 et 4, et écrivez leurs multiples dans l’ordre.
Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20…
Recherchez les doublons. Les deux listes en ont 12. Nous avons besoin du plus petit multiple commun, nous allons donc nous arrêter là.
mcm(3, 4) = 12
C’est très simple. Mais que se passe-t-il lorsque le nombre augmente ?
Factorisation première pour des nombres plus grands
À mesure que les chiffres augmentent, il devient fastidieux d’en énumérer plusieurs. Une autre méthode utilise la factorisation première. Divisez les nombres en leurs principaux éléments de base.
Commencez par 12 et 16. Divisez-les par le plus petit nombre premier, 2. Continuez à diviser par 2 jusqu’à ce que le résultat soit un nombre entier.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Vous ne pouvez pas diviser 3 par 2 de manière égale. Passez au nombre premier suivant, qui est 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Ce processus se poursuit jusqu’à ce qu’il atteigne 1. En comparant les facteurs premiers, vous pouvez déterminer le plus petit commun multiple sans avoir à énumérer une série infinie de nombres.
Trouvez le plus petit commun multiple de 15 et 25
Lorsqu’il s’agit de grands nombres, la liste des multiples devient fastidieuse. C’est pourquoi la factorisation première est si puissante ici. Décomposons 15 et 25 et voyons ce qu’il y a en dessous.
Commencez par le numéro 15. Il se divise parfaitement en 3 et 5 . Les deux sont premiers.
Regardez maintenant 25. C’est 5** multiplié par lui-même, soit 5$^2$.
Le but est de sélectionner la puissance la plus élevée de chaque élément de la liste.
Avec le chiffre initial 3, il n’apparaît que dans le premier chiffre (15). C’est pourquoi nous introduisons 3.
Pour le premier 5, 15 a 5 $ ^ 1 $ et 25 a 5 $ ^ 2 $. L’exposant le plus élevé est 2. Par conséquent, nous prenons $5^2$ (ou 25).
Multipliez-les ensemble :
3 $ \ fois 25 = 75 $
Donc lcm(15, 25) = 75.
Cette méthode fonctionne car chaque nombre original divise le résultat de manière égale. C’est plus rapide que d’écrire de longues listes de multiples, surtout si le nombre comporte plus de 3 chiffres.
Pour les nombres premiers
Et si on vous demandait de trouver le plus petit commun multiple de deux nombres premiers ? Comme 2 et 5 ?
C’est facile. Il suffit de les multiplier. Pourquoi? En effet, un nombre premier n’a pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même. Il ne peut pas être divisé davantage. Il n’y a pas de « terrain d’entente » commun dont il faut s’inquiéter, alors combinez-les.
2 $ \ fois 5 = 10 $
Donc lcm(2, 5) = 10.
Ce raccourci vous fera gagner du temps. Si vous trouvez deux nombres premiers dans le problème, n’y réfléchissez pas trop. Multiplier. Vous obtenez le LCM immédiatement.
Application pratique : Horaires et cycles
Pourquoi est-ce important en dehors des devoirs ? Pensez aux cycles.
Imaginez deux bus. Le bus A circule toutes les 15 minutes. Le bus B arrive toutes les 25 minutes. Ils viennent tous les deux de quitter la gare ensemble. Quand se reverront-ils ?
Vous venez de calculer cela. La réponse est 75 minutes.
Cette logique s’applique aux rapports de transmission, aux orbites planétaires et même au rythme de la musique. Comprendre comment les chiffres interagissent peut vous aider à prédire quand les différents systèmes se synchroniseront.
Si vous êtes étudiant, pratiquez la méthode de factorisation première jusqu’à ce que vous ayez l’impression qu’elle change automatiquement. C’est l’outil le plus puissant dont vous disposez. Cela fonctionne aussi bien pour les petits nombres que pour les grands nombres. La méthode de liste est idéale pour les débutants, mais elle n’est pas évolutive.
Continuez à vous entraîner. Ces modèles peuvent sembler familiers. Ne paniquez pas la prochaine fois que vous rencontrerez un problème LCM complexe. Vous allez simplement le décomposer.
Nous avons conclu la section précédente en prenant les plus grands exposants (3 et 5²) et en les multipliant. Cela nous donne le plus petit commun multiple (LCM) de 15 et 25 : 75. Ensuite, nous passons à l’application proprement dite.
Pour les nombres premiers
Regardons l’exercice 3. Nous avons besoin du plus petit commun multiple de 7 et 11. La réponse est 77.
Mais pourquoi cette méthode est-elle si simple ?
Tout d’abord, regardez les chiffres. 7 et 11 sont tous deux des nombres premiers. Cela signifie qu’ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et par 1. Puisqu’il n’y a pas de facteurs communs autres que 1, il n’est pas nécessaire de procéder à une factorisation complexe.
Pour trouver le plus petit commun multiple de deux nombres premiers, multipliez-les.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
C’est très simple. Aucun arbre de factorisation principal n’est nécessaire. Multiplication directe de deux nombres premiers différents.
Utilisation de la méthode de listage pour les petits ensembles
L’exercice 4 vous demande de trouver le plus petit commun multiple de 4, 6 et 8. Le résultat est 24.
Comme ces nombres sont petits, la méthode des listes est plus rapide que le calcul des facteurs premiers. Écrivez simplement les multiples de chaque nombre jusqu’à ce que vous trouviez le premier nombre commun.
La liste devrait ressembler à ceci :
- Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Vous remarquerez qu’ils se chevauchent. 12 apparaît dans les listes 4 et 6. 48 apparaît dans les trois. Cependant, vous voulez le plus petit multiple commun. Parcourez la liste pour trouver le premier numéro qui apparaît dans chaque colonne.
Ce nombre est 24.
mcm(4,6,8) = 24
Cette approche fonctionne bien pour les petits entiers, mais devient fastidieuse pour les grands nombres. C’est alors que vous revenez à la factorisation première.
Factorisation première pour des nombres plus grands
L’exercice 5 augmente le niveau de difficulté. Nous avons besoin des LCM de 30, 45 et 54. La réponse est 270.
Si les chiffres sont importants, la liste des multiples est inefficace. Au lieu de cela, factorisez chaque nombre séparément. Ensuite, déterminez le plus grand exposant de chaque facteur premier d’un nombre quelconque.
Décomposons chaque numéro.
- 30 facteurs en 2 x 3 x 5
- 45 facteurs en 3² x 5
- 54 facteurs en 2 x 3³
Voyons
Le processus simplifie l’identification des principaux facteurs qui partagent les numéros. Comme 30 et 54 seulement, vous pouvez diviser une fois par 2, cette valeur est là pour le calcul du minimum commun multiple (mcm). Ne soyez pas répit ni élevé plus loin que le nécessaire.
De même, 30 et 45 ans ont un facteur commun : 5. Il n’existe aucun autre numéro dans le complexe qui pose ce facteur avec un exposant majeur. Par conséquent, il est également inclus dans le calcul.
Le cas du facteur 3
Finalement, les trois chiffres partagent le facteur 3. Ici, il y a beaucoup de gens qui se confondent. 54 a ce facteur avec l’exposant le plus haut (3³, ou 27). Par conséquent, vous utilisez cette valeur spécifique pour calculer le mcm, au lieu de 3 ou 3².
La règle est claire : toujours avoir la puissance la plus haute de chaque facteur premier.
Le calcul final
Avec tous les éléments de votre lieu, l’opération est la suivante :
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Le résultat est 270. Si vous préférez la logique de sélection de l’exposant maximum, vous pouvez l’appliquer à n’importe quel ensemble de chiffres. Quels autres numéros vous permettront de pratiquer avec cette méthode ?
