Esta pregunta ha ocupado a las mentes más brillantes desde principios de siglo. Fue introducido por Henri Poincaré en 1904. Intentó clasificar variedades pero chocó contra un muro. El espacio tridimensional se comportaba de manera diferente a lo que podía imaginar fácilmente. Se preguntó si todas las variedades tridimensionales cerradas simplemente conectadas correspondían topológicamente a las 3 esferas. Ésta es la conjetura de Poincaré.
Estuvo ahí por mucho tiempo. Es sólo una suposición. Problemas abiertos en topología algebraica. Hoy en día, este es un teorema probado. Pero llegar allí tomó más de 100 años y requirió algunas de las mentes más agudas en matemáticas.
Qué significan realmente estos términos
No necesitas un doctorado para entender esto, pero las definiciones son importantes. A continuación se explica cómo desglosarlo:
“Simplemente conectado” suena técnico, pero simplemente significa que no hay agujeros en el espacio. Piensa en un globo. No hay agujeros. Una rosquilla sí. Hay un agujero en el centro del donut. Los globos están simplemente conectados.
“Cerrado” es más exacto. Esto significa que la forma contiene todos sus puntos límite. Si está lo suficientemente cerca de cualquiera de los bordes, los otros puntos del grupo también estarán cerca. No hay bordes sueltos ni espacios.
La variedad 3D es una versión abstracta de una superficie curva. Vivimos en un espacio 3D. Una variedad es un espacio que localmente se parece a nuestro espacio, aunque está retorcido globalmente.
“Equivalencia topológica” (u homeomorfismo) significa que una forma se puede estirar, torcer o doblar en otra sin romper la forma ni pegar las partes. Si puedes hacer eso, son idénticos desde un punto de vista topológico.
Una 3 esferas (denominada S 3) es un conjunto de puntos en un espacio de cuatro dimensiones que se encuentran a una distancia fija del origen. Esta es una generalización de alta dimensión de una esfera regular.
Cronología de dimensiones
Esta especulación no se limita al 3D. Poincaré luego amplió esta idea a n dimensiones. Propuso que toda variedad compacta n -dimensional es equivalente en homotopía a la esfera n si y sólo si es homeomorfa a la esfera n. En pocas palabras, una n esfera es un espacio n dimensional únicamente acotado y sin agujeros.
Los matemáticos estudian los problemas una dimensión a la vez.
- **Si n = 1: ** Esto es fácil. Una variedad unidimensional compacta, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a un círculo. Simple.
- **Si n = 2: ** Esta es una esfera ordinaria. Este problema se resolvió en el siglo XIX.
- N ≥ 5: En 1961, el matemático estadounidense Stephen Smale demostró que esta suposición era válida para estas dimensiones superiores. Ganó la Medalla Fields por este trabajo.
- Si n = 4: El matemático estadounidense Michael Freedman resolvió este problema en 1983. Los casos 4D son complicados porque las dimensiones interactúan. También ganó la medalla Fields.
- N = 3: Esta es la parte más difícil. La conjetura original de Poincaré.
solución 3D
El caso n = 3 permaneció sin resolver hasta que Grigori Perelman lo propuso.
Perelman fue un matemático ruso. En 2002, publicó su prueba en línea. Inicialmente no lo envió a una revista revisada por pares. Lo publicó en Internet. Esto causó revuelo. Las pruebas en formas no tradicionales debían ser verificadas por la comunidad matemática.
Otros matemáticos pasaron años comprobando su trabajo. Confirmaron que esto era correcto. La prueba se basa en la teoría del flujo de Ricci de Richard Hamilton, que Perelman perfeccionó y aplicó para resolver el problema.
Perelman recibió la Medalla Fields en 2006 por sus contribuciones. él se negó. También es elegible para una recompensa de $1 millón del Clay Mathematics Institute (CMI) en Cambridge, Massachusetts. Este es uno de los siete Problemas del Milenio. Perelman también lo rechazó.
CMI se mostró reacio a recompensar la financiación porque Perelman no publicó un artículo en una revista revisada por pares como lo requerían. No fue hasta 2010, cuando otros matemáticos publicaron confirmaciones en revistas revisadas por pares, que el CMI ofreció un premio de 1 millón de dólares. Perelman volvió a negarse.
¿Por qué es importante?
La conjetura de Poincaré no es sólo una respuesta trivial. Nos ayuda a comprender la forma del universo. Si el universo es una variedad tridimensional, ¿está simplemente conectado? ¿Hay algún agujero? Las herramientas desarrolladas para probar esta conjetura han cambiado la topología. Permiten a los matemáticos clasificar espacios con los que antes sólo habían soñado.
También muestra cómo se desarrollaron las matemáticas. Smale y Freedman resolvieron parte del rompecabezas. Perelman lo terminó. Pero la historia no termina con premios en metálico o medallas. Termina con una comprensión más profunda del espacio mismo.
