Как найти наименьшее общее кратное: три простых способа

Вам нужно сложить дроби. Вы смотрите на знаменатели. Они разные. Это очень раздражает.

Решение кроется в понятии, которого боятся большинство студентов, но которое они постоянно используют. Это наименьшее общее кратное, часто сокращенно обозначаемое как НОК (или mcm на испанском языке).

Отложим в сторону академический жаргон. Наименьшее общее кратное — это наименьшее число, которое делится нацело на два или более целых числа. Без остатков. Просто чистое деление.

Что такое наименьшее общее кратное?

Не паникуйте, если видите запись НОК(a, b) = x. Это просто означает:

• a и b — исходные числа (натуральные числа).
• x — наименьший результат, который делится нацело на оба числа a и b.

Возьмем для примера числа 2 и 3.

Перечислим кратные числа 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Перечислим кратные числа 3: 3, 6, 9, 12, 15…

Посмотрите, где ваши списки пересекаются. Первое число, появляющееся в обоих списках, — это 6.

Следовательно, НОК(2, 3) = 6.

Вы можете расширить это до скольких угодно чисел. Два или три числа — это стандарт, но логика также применима к четырем, пяти или большему количеству чисел. Цель та же самая: найти наименьшее общее кратное.

Зачем нам это нужно?

Это больше, чем просто математическое упражнение. Наименьшее общее кратное имеет одно важное практическое применение: сложение и вычитание дробей.

1/2 и 1/3 нельзя сложить напрямую. Знаменатели разные. Чтобы решить эту проблему, нам нужно найти общий знаменатель. Самый разумный выбор? Наименьшее общее кратное этих знаменателей. Держите числа небольшими, а вычисления — более эффективными.

Три способа вычисления наименьшего общего кратного

Не существует одного «правильного» способа. Только то, что лучше подходит для вашего мышления. Вот три наиболее эффективных метода.

1. Перебор кратных чисел

Это самый интуитивный метод для начинающих.

1. Запишите кратные числа первого числа.
2. Запишите кратные числа второго числа.
3. Найдите первое число, которое присутствует в обоих списках.

4 и 6 :
* Кратные 4: 4, 8, 12, 16…
* Кратные 6: 6, 12, 18…

Первое совпадение — 12. Следовательно, НОК(4, 6) = 12.

Этот метод хорошо работает для небольших чисел. Если числа большие, он не подойдет.

2. Разложение на простые множители

Это эффективный подход. Его можно расширить.

1. Разложите каждое число на простые множители.
2. Возьмите все уникальные простые множители из списка.
3. Для каждого простого множителя используйте наибольшую степень, которая встретилась.
4. Перемножьте их.

НОК(12,

Нахождение наименьшего общего кратного не обязательно должно быть сложным, как решение сложных уравнений. Важно, чтобы учащиеся и родители понимали концепцию, выявляя числовые закономерности. Вы можете выбрать метод, который лучше всего подходит для чисел, с которыми вы работаете.

Перечисление кратных малых чисел

Метод перечисления лучше всего подходит для работы с небольшими, удобными целыми числами. Возьмем два числа, например 3 и 4, и запишем их кратные в порядке возрастания.

Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…

Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20…

Ищите совпадения. В обоих списках есть число 12. Нам нужно наименьшее общее кратное, поэтому на этом мы остановимся.

НОК(3, 4) = 12

Это очень просто. Но что происходит, когда числа становятся больше?

Разложение на простые множители для больших чисел

По мере увеличения чисел становится утомительным перечислять их кратные. Другой метод использует разложение на простые множители. Разбейте числа на их простые составляющие.

Начнем с 12 и 16. Разделите эти числа на наименьшее простое число, 2. Продолжайте делить на 2, пока результат не станет целым числом.

• 12 ÷ 2 = 6
• 6 ÷ 2 = 3

Вы не можете разделить 3 на 2 без остатка. Перейдите к следующему простому числу, которым является 3.

• 16 ÷ 2 = 8
• 8 ÷ 2 = 4
• 4 ÷ 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнут результат 1. Сравнивая простые множители, вы можете определить наименьшее общее кратное, не прибегая к перечислению бесконечной последовательности чисел.

Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 25

При работе с большими числами перечисление кратных становится утомительным. Именно поэтому метод разложения на простые множители здесь так эффективен. Давайте разложим числа 15 и 25 и посмотрим, что из них состоит.

Начнем с числа 15. Оно легко раскладывается на 3 и 5. Оба множителя являются простыми числами.
Теперь рассмотрим число 25. Оно равно 5, умноженному само на себя, или $5^2$.

Цель состоит в том, чтобы выбрать наибольшую степень каждого простого множителя из всех рассматриваемых чисел.

Для исходного множителя 3 он встречается только в первом числе (15). Поэтому мы включаем 3.
Для простого множителя 5: в числе 15 он представлен как $5^1$, а в числе 25 — как $5^2$. Наибольшая степень равна 2. Следовательно, мы берем $5^2$ (или 25).

Перемножим полученные множители:
$3 \times 25 = 75$

Таким образом, НОК(15, 25) = 75.

Этот метод работает, потому что каждое из исходных чисел нацело делит полученный результат. Он быстрее, чем составление длинных списков кратных, особенно если числа состоят из более чем трех цифр.

Для простых чисел

Что, если вас попросят найти наименьшее общее кратное двух простых чисел? Например, 2 и 5?

Это просто. Нужно просто перемножить их. Почему? Потому что простое число не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Его нельзя разложить дальше. Нет общей «базы», которую нужно учитывать, поэтому просто комбинируем их.

$2 \times 5 = 10$

Таким образом, НОК(2, 5) = 10.

Эта подсказка сэкономит ваше время. Если в задаче встречаются два простых числа, не стоит долго размышлять. Просто перемножьте их. Вы сразу получите НОК.

Практическое применение: Расписания и циклы

Почему это важно за пределами домашних заданий? Подумайте о циклах.

Представьте два автобуса. Автобус А отправляется каждые 15 минут. Автобус Б прибывает каждые 25 минут. Оба только что покинули станцию одновременно. Когда они встретятся снова?

Вы только что это вычислили. Ответ: через 75 минут.

Эта логика применима к передаточным числам в механизмах, орбитам планет и даже к музыкальному ритму. Понимание того, как взаимодействуют числа, помогает предсказывать, когда различные системы синхронизируются.

Если вы студент, практикуйте метод разложения на простые множители до тех пор, пока он не станет для вас автоматическим. Это самый мощный инструмент, которым вы обладаете. Он работает как для маленьких, так и для очень больших чисел. Метод перебора кратных хорош для начинающих, но он не масштабируется.

Продолжайте практиковаться. Эти закономерности могут показаться вам знакомыми. Не паникуйте в следующий раз, когда столкнетесь со сложной задачей на нахождение НОК. Вы просто разложите числа на множители.

В предыдущем разделе мы завершили рассмотрение, взяв множители с наибольшими показателями степени (3 и 5²) и перемножив их. Это дало нам Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и 25: 75. Далее мы переходим к практическому применению.

Для простых чисел

Рассмотрим упражнение 3. Нам нужно найти наименьшее общее кратное чисел 7 и 11. Ответ — 77.

Но почему этот метод настолько прост?

Во-первых, посмотрите на числа. 7 и 11 — оба являются простыми числами. Это означает, что они делятся только на себя и на 1. Поскольку общих множителей, кроме 1, нет, нет необходимости выполнять сложные разложения на множители.

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух простых чисел, перемножьте их.

НОК(7, 11) = 7 x 11 = 77

Это очень просто. Не нужны деревья разложения на простые множители. Просто прямое умножение двух различных простых чисел.

Использование метода перечисления для небольших наборов чисел

Упражнение 4 просит найти наименьшее общее кратное чисел 4, 6 и 8. Результат — 24.

Поскольку эти числа небольшие, метод перечисления быстрее, чем вычисление простых множителей. Просто запишите кратные каждого числа до тех пор, пока не найдёте первое общее число.

Список должен выглядеть так:

• Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
• Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
• Кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…

Вы заметите, что они пересекаются. 12 встречается в списках для 4 и 6. 48 появляется во всех трёх списках. Однако вам нужно наименьшее общее кратное. Просмотрите список, чтобы найти первое число, которое встречается в каждом столбце.

Это число — 24.

НОК(4, 6, 8) = 24

Этот подход хорошо работает для небольших целых чисел, но становится утомительным для больших чисел. Именно тогда вы возвращаетесь к разложению на простые множители.

Разложение на простые множители для больших чисел

Упражнение 5 повышает уровень сложности. Нам нужно найти НОК чисел 30, 45 и 54. Ответ — 270.

Если числа большие, перечисление кратных неэффективно. Вместо этого разложите каждое число на множители отдельно. Затем определите наибольший показатель степени для каждого простого множителя среди всех чисел.

Давайте разберём каждое число.

• 30 раскладывается на 2 x 3 x 5
• 45 раскладывается на 3² x 5
• 54 раскладывается на 2 x 3³

Давайте посмотрим

Процесс упрощается за счёт выявления общих простых множителей среди чисел. Поскольку 30 и 54 можно разделить на 2 только один раз, это значение берётся для вычисления наименьшего общего кратного (НОК). Оно не повторяется и не возводится в более высокую степень, чем необходимо.

Аналогично, 30 и 45 имеют общий множитель: 5. Ни одно другое число в наборе не содержит этот множитель в большей степени. Поэтому он также включается в расчёт.

Случай множителя 3

Наконец, все три числа имеют общий множитель 3. Именно здесь многие ошибаются. У числа 54 этот множитель имеет наибольшую степень (3³, то есть 27). Следовательно, для вычисления НОК используется именно это значение, а не 3 или 3².

Правило чёткое: всегда берите наибольшую степень каждого простого множителя.

Итоговый расчёт

Когда все элементы учтены, операция выглядит следующим образом:

НОК(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270

Результат равен 270. Если вы будете следовать этой логике выбора максимальной степени, то сможете применять её к любым наборам чисел. Какие ещё числа вы хотели бы потренировать с помощью этого метода?