Як знайти найменше загальне кратне: три простих способи

Вам потрібно скласти дроби. Ви дивитеся на знаменники. Вони різні. Це дуже дратує.

Рішення криється в понятті, якого бояться більшість студентів, але яке вони постійно використовують. Це найменше загальне кратне, що часто скорочено позначається як НОК (або mcm іспанською мовою).

Відкладемо убік академічний жаргон. Найменше загальне кратне — це найменше число, яке ділиться націло на два чи більше цілих числа. Без залишків. Просто чистий поділ.

Що таке найменше загальне кратне?

Не панікуйте, якщо бачите запис НОК(a, b) = x. Це просто означає:

• a та b — вихідні числа (натуральні числа).
• x — найменший результат, який ділиться націло на обидва числа a та b.

Візьмемо для прикладу числа 2 та 3.

Перелічимо кратні числа 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Перелічимо кратні числа 3: 3, 6, 9, 12, 15…

Подивіться, де ваші списки перетинаються. Перше число, що з’являється в обох списках, – 6.

Отже, НОК(2, 3) = 6.

Ви можете розширити це до скільки завгодно чисел. Два чи три числа – це стандарт, але логіка також застосовна до чотирьох, п’яти або більшої кількості чисел. Мета та сама: знайти найменше загальне кратне.

Навіщо нам це потрібно?

Це більше, ніж просто математична вправа. Найменше загальне кратне має одне важливе практичне застосування: складання та віднімання дробів.

1/2 та 1/3 не можна скласти безпосередньо. Знаменники різні. Щоб вирішити цю проблему, нам потрібно знайти спільний знаменник. Найрозумніший вибір? Найменше загальне кратне цих знаменників. Тримайте числа невеликими, а обчислення більш ефективними.

Три способи обчислення найменшого загального кратного

Немає одного «правильного» способу. Тільки те, що найкраще підходить для вашого мислення. Ось три найбільш ефективні методи.

1. Перебір кратних чисел

Це найінтуїтивніший метод для початківців.

1. Запишіть кратні числа першого числа.
2. Запишіть кратні числа другого числа.
3. Знайдіть перше число, яке є в обох списках.

4 та 6 :
* Кратні 4: 4, 8, 12, 16…
* Кратні 6: 6, 12, 18…

Перший збіг – 12. Отже, НОК(4, 6) = 12.

Цей метод добре працює для невеликих чисел. Якщо числа більші, він не підійде.

2. Розкладання на прості множники

Це ефективний підхід. Його можна розширити.

1. Розкладіть кожне число на прості множники.
2. Візьміть усі унікальні прості множники зі списку.
3. Для кожного простого множника використовуйте найбільший ступінь, який зустрівся.
4. Перемножте їх.

НОК(12,

Знаходження найменшого загального кратного не обов’язково має бути складним, як розв’язання складних рівнянь. Важливо, щоб учні та батьки розуміли концепцію, виявляючи числові закономірності. Ви можете вибрати метод, який найкраще підходить для чисел, з якими ви працюєте.

Перерахування кратних малих чисел

Метод перерахування найкраще підходить для роботи з невеликими, зручними цілими числами. Візьмемо два числа, наприклад, 3 і 4, і запишемо їх кратні в порядку зростання.

Кратні 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…

Кратні 4: 4, 8, 12, 16, 20…

Шукайте збіги. В обох списках є число 12. Нам потрібно найменше загальне кратне, тому на цьому ми зупинимося.

НОК(3, 4) = 12

Це дуже просто. Але що відбувається, коли числа стають більшими?

Розкладання на прості множники для великих чисел

У міру збільшення чисел стає стомлюючим перераховувати їх кратні. Інший метод використовує розкладання на прості множники. Розбийте числа на їх найпростіші складові.

Почнемо з 12 та 16. Розділіть ці числа на найменше просте число, 2. Продовжуйте ділити на 2, доки результат не стане цілим числом.

• 12 ÷ 2 = 6
• 6 ÷ 2 = 3

Ви не можете поділити 3 на 2 без залишку. Перейдіть до наступного простого числа, яким є 3.

• 16 ÷ 2 = 8
• 8 ÷ 2 = 4
• 4 ÷ 2 = 2
• 2 ÷ 2 = 1

Цей процес триває до тих пір, поки не буде досягнуто результату 1. Порівнюючи прості множники, ви можете визначити найменше загальне кратне, не вдаючись до перерахування нескінченної послідовності чисел.

Знайти найменше загальне кратне (НОК) чисел 15 та 25

Працюючи з великими числами перерахування кратних стає стомлюючим. Саме тому метод розкладання на прості множники тут такий ефективний. Давайте розкладемо числа 15 і 25 і подивимося, що з них складається.

Почнемо з числа 15. Воно легко розкладається на 3 та 5. Обидва множники є простими числами.
Тепер розглянемо число 25. Воно дорівнює 5, помноженому на себе, або $5^2$.

Мета полягає в тому, щоб вибрати найбільший ступінь кожного простого множника з усіх чисел, що розглядаються.

Для вихідного множника 3 він зустрічається лише першому числі (15). Тому ми включаємо 3.
Для простого множника 5: серед 15 він представлений як $5^1$, а в числі 25 — як $5^2$. Найбільший рівень дорівнює 2. Отже, ми беремо $5^2$ (або 25).

Перемножимо отримані множники:
$3 \times 25 = 75$

Таким чином, НОК(15, 25) = 75.

Цей метод працює, тому що кожне з вихідних чисел націло поділяє отриманий результат. Він швидше, ніж складання довгих кратних списків, особливо якщо числа складаються з більш ніж трьох цифр.

Для простих чисел

Що якщо вас попросять знайти найменше загальне кратне двох простих чисел? Наприклад, 2 та 5?

Це просто. Потрібно просто перемножити їх. Чому? Тому що просте число не має дільників, крім 1 і самого себе. Його не можна розкласти далі. Нема спільної «бази», яку потрібно враховувати, тому просто комбінуємо їх.

$2 \times 5 = 10$

Таким чином, НОК(2, 5) = 10.

Ця підказка заощадить ваш час. Якщо завдання зустрічаються два простих числа, не варто довго розмірковувати. Просто перемножте їх. Ви одразу отримаєте НОК.

Практичне застосування: Розклади та цикли

Чому це важливо поза домашніми завданнями? Подумайте про цикли.

Уявіть два автобуси. Автобус А відправляється кожні 15 хвилин. Автобус Б прибуває кожні 25 хвилин. Обидва щойно покинули станцію одночасно. Коли вони зустрінуться знову?

Ви щойно це вирахували. Відповідь: за 75 хвилин.

Ця логіка застосовна до передавальних чисел у механізмах, орбіт планет і навіть до музичного ритму. Розуміння того, як взаємодіють числа, допомагає пророкувати, коли різні системи синхронізуються.

Якщо ви студент, практикуйте метод розкладання на прості множники доти, доки він не стане для вас автоматичним. Це найпотужніший інструмент, яким ви маєте. Він працює як для маленьких, так і дуже великих чисел. Метод перебору кратних хороший для початківців, але не масштабується.

Продовжуйте практикуватись. Ці закономірності можуть здатися вам знайомими. Не панікуйте наступного разу, коли зіткнетеся зі складним завданням на знаходження НОК. Ви просто розкладете числа на множники.

У попередньому розділі ми завершили розгляд, взявши множники з найбільшими показниками ступеня (3 та 5?) та перемноживши їх. Це дало нам найменше загальне кратне (НОК) чисел 15 і 25: 75. Далі ми переходимо до практичного застосування.

Для простих чисел

Розглянемо вправу 3. Нам потрібно знайти найменше загальне кратне чисел 7 та 11. Відповідь – 77.

Але чому цей метод настільки простий?

По-перше, подивіться на числа. 7 і 11 – обидва є простими числами. Це означає, що вони діляться тільки на себе і на 1. Оскільки загальних множників, крім 1, немає, немає необхідності виконувати складні розкладання на множники.

Щоб знайти найменше загальне кратне двох простих чисел, перемножте їх.

НОК(7, 11) = 7 x 11 = 77

Це дуже просто. Не потрібні дерева розкладання на звичайні множники. Просто пряме множення двох різних простих чисел.

Використання методу перерахування для невеликих наборів чисел

Вправа 4 вимагає визначити найменше загальне кратне чисел 4, 6 і 8. Результат – 24.

Оскільки ці числа невеликі, метод перерахування швидший, ніж обчислення простих множників. Просто запишіть кратні кожного числа, доки не знайдете перше загальне число.

Список має виглядати так:

• Кратні 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
• Кратні 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
• Кратні 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…

Ви помітите, що вони перетинаються. 12 зустрічається у списках для 4 та 6. 48 з’являється у всіх трьох списках. Однак вам потрібно найменше загальне кратне. Перегляньте список, щоб знайти перше число, яке зустрічається у кожному стовпці.

Це число – 24.

НОК(4, 6, 8) = 24

Цей підхід добре працює для невеликих цілих чисел, але стає стомлюючим для великих чисел. Саме тоді ви повертаєтесь до розкладання на прості множники.

Розкладання на прості множники для великих чисел

Вправа 5 підвищує рівень складності. Нам потрібно знайти НОК чисел 30, 45 та 54. Відповідь – 270.

Якщо числа великі, перерахування кратних є неефективним. Натомість розкладіть кожне число на множники окремо. Потім визначте найбільший показник ступеня кожного простого множника серед усіх чисел.

Давайте розберемо кожне число.

• 30 розкладається на 2 x 3 x 5
• 45 розкладається на 3² x 5
• 54 розкладається на 2 x 3³

Давайте подивимося

Процес спрощується рахунок виявлення загальних простих множників серед чисел. Оскільки 30 і 54 можна розділити на 2 лише один раз, це значення береться до обчислення найменшого загального кратного (НОК). Воно не повторюється і не зводиться у вищу міру, ніж необхідно.

Аналогічно, 30 та 45 мають загальний множник: 5. Жодне інше число в наборі не містить цього множника більшою мірою. Тому він також включається до розрахунку.

Випадок множника 3

Нарешті, всі три числа мають загальний множник 3. Саме тут багато хто помиляється. У числа 54 цей множник має найбільший ступінь (3?, тобто 27). Отже, для обчислення НОК використовується саме це значення, а чи не 3 чи 3².

Правило чітке: завжди беріть найбільший рівень кожного простого множника.

Підсумковий розрахунок

Коли всі елементи враховані, операція виглядає так:

НОК(30, 45, 54) = 2×3³×5 = 270

Результат дорівнює 270. Якщо ви наслідуватимете цю логіку вибору максимального ступеня, то зможете застосовувати її до будь-яких наборів чисел. Які ще числа ви хотіли б потренувати за допомогою цього методу?