Клаус Фридрих Рот был математиком, который всю жизнь доказывал, что некоторые числа труднее аппроксимировать, чем другие. Он родился 29 октября 1925 года во Вроцлаве, Германия. Современный город — Вроцлав, Польша. Он умер 10 ноября 2015 года в Инвернессе, Шотландия.
Он родился в Германии, но стал британским математиком. В 1958 году он получил медаль Филдса. Это часто называют «Нобелевской премией» в области математики. Он получил награды за свои исследования в области теории чисел. В частности, он решил вопрос о том, насколько близко рациональные числа могут находиться к алгебраическим числам.
Образовательные пути лауреатов медали Филдса
Рот не сразу вышел на вершину. Он учился в колледже Питерхаус Кембриджского университета в Англии. В 1945 году он получил степень бакалавра (B.A.). Затем он поступил в Лондонский университет. Там он завершил обучение по программе магистратуры. В 1948 году он получил степень доктора философии (Ph.D.). В 1950 году.
Он начал свою карьеру в Университетском колледже Лондона. Он работал там с 1948 по 1966 год, после чего перешел в Имперский колледж Лондона. Он стал профессором чистой математики. Он занимал эту должность до 1988 года.
Математика за медалями
За что он получил награду? Это сводится к рациональным аппроксимациям алгебраических чисел.
Это основной вопрос. Рассмотрим любое иррациональное число. Оно называется альфа. Неважно, является ли альфа алгебраическим числом или нет. Всегда существует бесконечное количество рациональных чисел p/q. Эти дроби очень близки к альфа. Правила просты. Расстояние между p/q и альфа меньше, чем 1, деленное на квадрат q.
Это можно доказать, используя цепные дроби. Конвергенты (сходящиеся дроби) цепной дроби для альфа играют эту роль.
Рот заглянул глубже. Он искал показатель степени mu. Показатель указывает, насколько точно число аппроксимируется. Найдите аппроксимацию p/q, погрешность которой меньше, чем q в степени mu.
Если mu_bar является верхней границей такого показателя, его значение меняется в зависимости от числа.
Жозеф Лиувилль решил эту проблему в 1844 году. Он показал, что mu_bar меньше n, где n — степень алгебраического числа альфа.
Аксель Тёе улучшил этот результат в 1908 году. Он показал, что mu_bar меньше n/2 + 1.
Карл Людвиг Зигель сделал еще один шаг вперед в 1921 году. Он показал, что mu_bar меньше квадратного корня из 2n.
Фримен Дж. Дайсон进一步改进这一结果是在1947年。他使mu_bar小于2n的平方根。
Затем появился Рот. В 1955 году он показал, что mu_bar равен 2 для любого алгебраического числа альфа.
Это не простое решение. Это довольно сложно. Полностью решить проблемы алгебраических чисел.
За пределами теоремы об аппроксимации
Рот известен не только этим доказательством. Он также изучал целочисленные последовательности. Он использовал решето Сельберга. Он проводил исследования в области аналитической теории чисел.
Он соавтор книги
