Je moet breuken optellen. Je kijkt naar de noemer. ze zijn anders. Dit is erg vervelend.
De oplossing ligt in een concept waar de meeste studenten bang voor zijn, maar waar ze eigenlijk voortdurend op vertrouwen. Dit is het minst gemene veelvoud, in het Spaans vaak afgekort tot LCM of mcm.
Laten we het academische jargon terzijde schuiven. Het Kleinste Gemene Veelvoud is het kleinste getal dat deelbaar is door twee of meer gehele getallen. Geen resten. Gewoon een zuivere verdeling.
Wat is het kleinste gemene veelvoud?
Raak niet in paniek als je mcm(a, b) = x ziet. Het betekent simpelweg:
- a en b zijn startnummers (natuurlijke getallen).
- x is het kleinste resultaat dat deelbaar is door zowel a als b.
Laten we bijvoorbeeld de getallen 2 en 3 nemen.
Noem de veelvouden van nummer 2: 2, 4, 6, 8, 10…
Noem de veelvouden van nummer 3: 3, 6, 9, 12, 15…
Kijk waar uw lijsten elkaar overlappen. Het eerste getal dat in beide lijsten verschijnt, is 6.
Daarom mcm(2, 3) = 6.
Je kunt dit zoveel uitbreiden als je nodig hebt. Twee of drie cijfers zijn standaard, maar de logica geldt ook voor vier, vijf of meer cijfers. Het doel is hetzelfde: het vinden van het kleinste gedeelde veelvoud.
Waarom hebben we dit nodig?
Dit is meer dan alleen een wiskundige oefening. Kleinste Gemene Veelvoud heeft één belangrijke toepassing in de praktijk: optellen en aftrekken van breuken.
1/2 en 1/3 kunnen niet rechtstreeks worden toegevoegd. De noemer is anders. Om dit probleem op te lossen, moeten we een gemeenschappelijke noemer vinden. De slimste keuze? Het kleinste gemene veelvoud van deze noemers. Houd de cijfers klein en de berekeningen efficiënter.
Drie manieren om het kleinste gemene veelvoud te berekenen
Er is niet één ‘juiste’ manier. Precies wat werkt voor de hersenen. Hier zijn de drie meest effectieve methoden.
1. Veelvouden weergeven
Dit is de meest intuïtieve methode voor beginners.
- Schrijf het veelvoud van het eerste getal.
- Schrijf het veelvoud van het tweede getal.
- Zoek het eerste nummer in beide lijsten.
4 en 6 :
* Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16…
* Veelvouden van 6: 6, 12, 18…
De eerste overeenkomst is 12. Daarom mcm(4, 6) = 12.
Dit werkt goed voor kleine aantallen. Als het aantal groot is, zal het mislukken.
2. Ontbinding in priemfactoren
Dit is een effectieve aanpak. Kan worden uitgebreid.
- Splits elk getal op in zijn belangrijkste factoren.
- Haal alle unieke priemgetallen in de lijst op.
- Gebruik de hoogste gevonden macht voor elke priemfactor.
- Vermenigvuldig ze met elkaar.
**mcm(12,
Het vinden van het kleinste gemene veelvoud hoeft niet hetzelfde te zijn als het oplossen van complexe vergelijkingen. Het identificeren van cijferpatronen is belangrijk voor leerlingen en ouders om dit concept te begrijpen. U kunt de methode kiezen die past bij de cijfers waarmee u te maken heeft.
Maak een lijst van veelvouden van kleine getallen
De lijstmethode is het beste voor het werken met kleine, beheersbare gehele getallen. Neem twee getallen, bijvoorbeeld 3 en 4, en schrijf hun veelvouden op volgorde.
Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16, 20…
Zoek naar duplicaten. Beide lijsten hebben er 12. We hebben het kleinste gemene veelvoud nodig, dus daar stoppen we mee.
mcm(3, 4) = 12
Het is heel eenvoudig. Maar wat gebeurt er als het aantal toeneemt?
Priemfactorisatie voor grotere getallen
Naarmate de aantallen groeien, wordt het vervelend om er meerdere op te noemen. Een andere methode maakt gebruik van priemfactorisatie. Verdeel de cijfers in hun belangrijkste bouwstenen.
Begin met 12 en 16. Deel deze door het kleinste priemgetal, 2. Ga door met delen door 2 totdat het resultaat een geheel getal is.
- 12 ÷ 2 = 6
- 6 ÷ 2 = 3
Je kunt 3 niet gelijkmatig delen door 2. Ga naar het volgende priemgetal, namelijk 3.
- 16 ÷ 2 = 8
- 8 ÷ 2 = 4
- 4 ÷ 2 = 2
- 2 ÷ 2 = 1
Dit proces gaat door totdat het 1 bereikt. Door de priemfactoren te vergelijken, kun je het kleinste gemene veelvoud bepalen zonder dat je een eindeloze reeks getallen hoeft op te sommen.
Vind het kleinste gemene veelvoud van 15 en 25
Als je met grotere aantallen te maken hebt, wordt het opsommen van veelvouden vervelend. Dit is de reden waarom priemfactorisatie hier zo krachtig is. Laten we 15 en 25 afbreken en kijken wat eronder zit.
Begin met nummer 15. Dit splitst zich netjes op in 3 en 5 . Beide zijn primair.
Kijk nu naar 25. Het is 5** vermenigvuldigd met zichzelf, oftewel $5^2$.
Het doel is om de hoogste macht van elk element in de lijst te selecteren.
Bij het initiële getal 3 komt dit alleen voor in het eerste getal (15). Daarom introduceren wij 3.
Voor prime 5 heeft 15 $5^1$ en 25 $5^2$. De hoogste exponent is 2. Daarom nemen we $5^2$ (of 25).
Vermenigvuldig deze met elkaar:
$3 \maal 25 = 75$
Daarom lcm(15, 25) = 75.
Deze methode werkt omdat elk origineel getal het resultaat gelijk verdeelt. Het is sneller dan het opschrijven van lange lijsten met veelvouden, vooral als het getal uit meer dan drie cijfers bestaat.
Voor priemgetallen
Wat als u wordt gevraagd het kleinste gemene veelvoud van twee priemgetallen te vinden? Zoals 2 en 5?
Het is gemakkelijk. Vermenigvuldig ze gewoon. Waarom? Dit komt omdat een priemgetal geen andere delers heeft dan 1 en zichzelf. Het kan niet verder worden verdeeld. Er is geen gedeelde ‘gemeenschappelijke basis’ om je zorgen over te maken, dus combineer ze.
$2 \maal 5 = 10$
Daarom lcm(2, 5) = 10.
Deze snelkoppeling bespaart u tijd. Als je twee priemgetallen in het probleem vindt, denk er dan niet te veel over na. Vermenigvuldigen. U ontvangt de LCM onmiddellijk.
Praktische toepassing: schema’s en cycli
Waarom is dit belangrijk buiten het huiswerk? Denk aan cycli.
Stel je twee bussen voor. Bus A rijdt elke 15 minuten. Bus B arriveert elke 25 minuten. Ze hebben allebei net samen het station verlaten. Wanneer ontmoeten ze elkaar weer?
Dat heb je net berekend. Het antwoord is 75 minuten.
Deze logica is van toepassing op overbrengingsverhoudingen, planeetbanen en zelfs het ritme van muziek. Als u begrijpt hoe de cijfers op elkaar inwerken, kunt u voorspellen wanneer verschillende systemen zullen synchroniseren.
Als je een student bent, oefen dan de priemfactorisatiemethode totdat je het gevoel hebt dat deze automatisch verandert. Het is het krachtigste hulpmiddel dat je hebt. Het werkt zowel voor kleine aantallen als voor grote aantallen. De lijstmethode is geweldig voor beginners, maar is niet schaalbaar.
Blijf oefenen. Deze patronen lijken misschien bekend. Raak niet in paniek de volgende keer dat u een complex LCM-probleem tegenkomt. Je zult het gewoon afbreken.
We sloten de vorige paragraaf af door de grootste exponentfactoren (3 en 5²) te nemen en deze te vermenigvuldigen. Dit geeft ons het Least Common Multiple (LCM) van 15 en 25: 75. Vervolgens gaan we verder met de daadwerkelijke toepassing.
Voor priemgetallen
Laten we naar oefening 3 kijken. We hebben het kleinste gemene veelvoud van 7 en 11 nodig. Het antwoord is 77.
Maar waarom is deze methode zo eenvoudig?
Kijk eerst naar de cijfers. 7 en 11 zijn beide priemgetallen. Dit betekent dat ze alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1. Omdat er geen andere gemeenschappelijke factoren zijn dan 1, is er geen noodzaak om complexe factorisatie uit te voeren.
Om het kleinste gemene veelvoud van twee priemgetallen te vinden, vermenigvuldig je ze.
mcm(7, 11) = 7 x 11 = 77
Het is heel eenvoudig. Geen priemfactorisatiebomen nodig. Directe vermenigvuldiging van twee verschillende priemgetallen.
De listingmethode gebruiken voor kleine sets
In oefening 4 wordt je gevraagd het kleinste gemene veelvoud van 4, 6 en 8 te vinden. Het resultaat is 24.
Omdat deze getallen klein zijn, is de lijstmethode sneller dan het berekenen van priemfactoren. Schrijf gewoon de veelvouden van elk getal op totdat je het eerste gemeenschappelijke getal vindt.
De lijst zou er als volgt uit moeten zien:
- ** Veelvouden van 4:** 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…
- Veelvouden van 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60…
- ** Veelvouden van 8:** 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80…
Je zult merken dat ze elkaar overlappen. 12 verschijnt in de lijsten 4 en 6. 48 komt voor in alle drie. U wilt echter het kleinste gemene veelvoud. Scan de lijst om het eerste nummer te vinden dat in elke kolom verschijnt.
Dat aantal is 24.
mcm(4,6,8) = 24
Deze aanpak werkt goed voor kleine gehele getallen, maar wordt vervelend voor grote getallen. Dat is het moment waarop u terugkeert naar priemfactorisatie.
Priemfactorisatie voor grotere getallen
Oefening 5 verhoogt de moeilijkheidsgraad. We hebben de LCM van 30, 45 en 54 nodig. Het antwoord is 270.
Als de aantallen groot zijn, is het vermelden van veelvouden inefficiënt. Ontbind in plaats daarvan elk getal afzonderlijk. Bepaal vervolgens de grootste exponent van elke priemfactor van een willekeurig getal.
Laten we elk getal opsplitsen.
- 30 factoren in 2 x 3 x 5
- 45 factoren in 3² x 5
- 54 factoren in 2 x 3³
Laten we eens kijken
Het proces is eenvoudig en identificeert de belangrijkste factoren die de aantallen met elkaar delen. Op 30 en 54 jaar kan hij alleen een deel van 2 delen, deze waarde is groot voor de berekening van de minima met meerdere (mcm). U kunt het niet herhalen, maar het is allemaal nodig.
De eerste keer, 30 en 45 jaar, is een factor gemeenschappelijk: 5. Er bestaat geen ander aantal in de context dat dit een factor is bij een exponente burgemeester. Dus, het is inclusief de berekening.
Het geval van factor 3
Tenslotte zijn er drie aantallen die factor 3 in rekening brengen. Dit is een groot deel van de verwarring. 54 Deze factor is groter dan de exponent (3³, of 27). Daarom, gebruik deze waarde specifiek voor het berekenen van de mcm, op een waarde van 3 of 3².
De regeling is helder: u kunt de potentie meer dan de eerste factor vergroten.
De finale berekening
Met alle elementen in uw lugar, de bediening die u moet doen:
mcm(30, 45, 54) = 2 × 3³ × 5 = 270
Het resultaat is 270. Als deze logica de maximale macht is, kan deze met een steeds grotere combinatie van aantallen worden toegepast. Waarom zijn er nog veel meer mensen die deze methode willen beoefenen?
