Этот вопрос занимал самые яркие умы с начала века. Он был предложен Анри Пуанкаре в 1904 году. Он пытался классифицировать многообразия, но уперся в стену. Трехмерное пространство вело себя иначе, чем он мог легко себе представить. Он задавался вопросом, соответствуют ли все односвязные замкнутые трехмерные многообразия топологически 3-сфере. Это и есть гипотеза Пуанкаре.
Она существовала долгое время. Это была просто гипотеза. Открытая проблема алгебраической топологии. Сегодня это доказанная теорема. Но путь к этому занял более 100 лет и потребовал участия некоторых из самых блестящих умов в математике.
Что на самом деле означают эти термины
Вам не нужна степень доктора философии, чтобы понять это, но определения важны. Вот как можно разложить это на части:
«Односвязный» звучит технически, но это просто означает, что в пространстве нет дыр. Представьте себе воздушный шар. В нем нет дыр. У пончика есть дыра. В центре пончика есть отверстие. Воздушные шары являются односвязными.
«Замкнутый» — более точный термин. Это означает, что фигура содержит все свои предельные точки. Если она достаточно близка к любому краю, другие точки в множестве также будут близки. Нет свободных краев или зазоров.
Трехмерное многообразие — это абстрактная версия искривленной поверхности. Мы живем в трехмерном пространстве. Многообразие — это пространство, которое локально выглядит как наше пространство, хотя глобально оно скручено.
«Топологическая эквивалентность» (или гомеоморфизм) означает, что одну фигуру можно растянуть, скрутить или изогнуть в другую, не разрывая фигуру и не склеивая ее части. Если вы можете это сделать, они идентичны с топологической точки зрения.
3-сфера (обозначается S ³) — это множество точек в четырехмерном пространстве, находящихся на фиксированном расстоянии от начала координат. Это обобщение обычной сферы для высших измерений.
Хронология измерений
Эта спекуляция не ограничивается 3D. Позже Пуанкаре расширил эту идею на n измерений. Он предположил, что каждое компактное n -мерное многообразие гомотопически эквивалентно n -сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно n -сфере. Проще говоря, n -сфера — это единственное ограниченное n -мерное пространство без дыр.
Математики изучают проблемы по одному измерению за раз.
- Если n = 1: Это легко. Компактное, замкнутое, односвязное одномерное многообразие гомеоморфно окружности. Просто.
- Если n = 2: Это обычная сфера. Эта проблема была решена в 19 веке.
- N ≥ 5: В 1961 году американский математик Стивен Смейл показал, что это предположение верно для этих высших измерений. За эту работу он получил медаль Филдса.
- Если n = 4: Американский математик Майкл Фридман решил эту проблему в 1983 году. Случай 4D сложен, потому что измерения взаимодействуют. Он также получил медаль Филдса.
- N = 3: Это самая сложная часть. Оригинальная гипотеза Пуанкаре.
Решение для 3D
Случай n = 3 оставался нерешенным, пока Григорий Перельман не предложил свое решение.
Перельман был российским математиком. В 2002 году он выложил свое доказательство в интернете. Изначально он не подавал его в журнал с рецензированием. Он разместил его в Интернете. Это вызвало переполох. Доказательства в нетрадиционной форме должны были быть проверены математическим сообществом.
Другие математики потратили годы на проверку его работы. Они подтвердили, что это верно. Доказательство основано на теории потока Риччи Ричарда Гамильтона, которую Перельман усовершенствовал и применил для решения проблемы.
Перельман получил медаль Филдса в 2006 году за свой вклад. Он отказался. Он также имеет право на вознаграждение в 1 миллион долларов от Института математики Клэя (CMI) в Кембридже, штат Массачусетс. Это одна из семи задач тысячелетия. Перельман также отказался от нее.
Институт Клэя был неохотно готов выдать финансирование, поскольку Перельман не опубликовал статью в журнале с рецензированием, как того требовали они. Только в 2010 году, когда другие математики опубликовали подтверждения в журналах с рецензированием, CMI предложил приз в 1 миллион долларов. Перельман снова отказался.
Почему это важно?
Гипотеза Пуанкаре — это не просто ответ на вопрос викторины. Она помогает нам понять форму вселенной. Если вселенная является трехмерным многообразием, является ли она односвязной? Есть ли в ней дыры? Инструменты, разработанные для доказательства этой гипотезы, изменили топологию. Они позволяют математикам классифицировать пространства, о которых они раньше только мечтали.
Это также показывает, как развивалась математика. Смейл и Фридман решили часть головоломки. Перельман завершил ее. Но история не заканчивается на призовых деньгах или медалях. Она заканчивается более глубоким пониманием самого пространства.
