Числа це не просто абстрактні символи. Вони є будівельними блоками дійсності.
Число – це будь-яка позитивна чи негативна ціла величина. Це також може бути будь-яке дійсне чи комплексне число. Комплексні числа мають вигляд a+bi. Тут a та b — дійсні числа. i – це квадратний корінь із негативної одиниці.
Коли b дорівнює нулю, а a не дорівнює нулю, виходить чисто уявне число. Коли і a, і b не дорівнюють нулю, це змішане комплексне число.
Система дійсних чисел
Справжні числа – це величезна група. Вони включають раціональні та ірраціональні числа.
Раціональні числа є простими. Їх можна записати у вигляді цілих чисел або у вигляді окремого двох цілих чисел.
– 12 – раціональне число.
– 13/5 – раціональне число.
– -4/11 – раціональне число.
Усі раціональні числа також є алгебраїчними. Це означає, що вони є корінням поліноміального рівняння з раціональними коефіцієнтами.
Ірраціональні числа – це інша справа. Їх не можна висловити у вигляді простого дробу. Класичним прикладом є квадратний корінь із 2. Він триває нескінченно без повторення.
Пояснення трансцендентних чисел
Не всі ірраціональні числа є алгебраїчними. Деякі неможливо знайти рішенням поліноміального рівняння з раціональними коефіцієнтами. Це трансцендентні числа.
Ця різниця має значення. Воно відокремлює такі числа, як квадратний корінь із 2, від інших.
Квадратний корінь із 2 є алгебраїчним. Він вирішує рівняння x ² = 2.
Але багато ірраціональних чисел не вирішують таких рівнянь.
Основа натурального логарифму, e, є трансцендентною. Число Пі, π, також є трансцендентним. Так само, як і деякі комбінації цих двох чисел.
Історія показує, що це було важким фактом для підтвердження.
Шарль Ерміт довів, що e є трансцендентним в 1873 році.
Фердинанд фон Ліндеман довів, що π є трансцендентним, у 1882 році.
Це було перше число, для якого було доведено його трансцендентну властивість.
Особливі класи чисел
Крім основних категорій, існують конкретні типи чисел із унікальними властивостями.
Квадратні числа — це цілі числа, які є квадратом іншого цілого числа. 9 – квадратне число, тому що 3? = 9.
Довершені числа – рідкість. Вони дорівнюють сумі своїх власних дільників. Наприклад, 6 – досконале число. Його власні дільники: 1, 2 та 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Випадкові числа є результатами процедур випадкового вибору. Вони визначаються формулою, а шляхом їх генерації.
Прості числа – це цілі числа, великі 1. Їх єдиними позитивними дільниками є 1 і вони самі. 2, 3, 5, 7 та 11 – прості числа. 4 – ні. Воно поділяється на 2.
Ці класифікації допомагають нам організувати безкінечний світ чисел. Вони забезпечують структуру. Вони дозволяють робити точні обчислення. Без них математика була б хаотичним безладом.
Який тип чисел ви використовуєте найчастіше у повсякденному житті? Певно, раціональні. Але що глибше ви занурюєтеся, то дивніше це стає.
