Liczby to nie tylko abstrakcyjne symbole. Stanowią elementy składowe rzeczywistości.
Liczba to dowolna dodatnia lub ujemna wartość całkowita. Może to być także dowolna liczba rzeczywista lub zespolona. Liczby zespolone mają postać a + bi. Tutaj a i b są liczbami rzeczywistymi. i jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby ujemnej.
Gdy b wynosi zero, a a nie wynosi zero, wynikiem jest liczba czysto urojona. Gdy oba a i b są niezerowe, jest to mieszana liczba zespolona.
System liczb rzeczywistych
Liczby rzeczywiste to ogromna grupa. Należą do nich liczby wymierne i niewymierne.
Liczby wymierne są proste. Można je zapisać jako liczby całkowite lub jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
– 12 to liczba wymierna.
– 13/5 to liczba wymierna.
– -4/11 to liczba wymierna.
Wszystkie liczby wymierne są również algebraiczne. Oznacza to, że są one pierwiastkami równania wielomianowego o wymiernych współczynnikach.
Liczby niewymierne to inna sprawa. Nie można ich wyrazić w postaci ułamka zwykłego. Klasycznym przykładem jest pierwiastek kwadratowy z 2. Trwa to w nieskończoność, bez powtarzania się.
Wyjaśnienie liczb przestępnych
Nie wszystkie liczby niewymierne są algebraiczne. Niektóre nie mogą być rozwiązaniem równania wielomianowego o wymiernych współczynnikach. To są liczby przestępne.
To rozróżnienie ma znaczenie. Oddziela liczby takie jak pierwiastek kwadratowy z 2 od innych.
Pierwiastek kwadratowy z 2 jest algebraiczny. Rozwiązuje równanie x² = 2.
Jednak wiele liczb niewymiernych nie rozwiązuje takich równań.
Podstawa logarytmu naturalnego e jest przestępna. Pi, π jest również transcendentalne. Podobnie wykonaj niektóre kombinacje tych dwóch liczb.
Historia pokazuje, że trudno było to udowodnić.
Charles Hermite udowodnił, że e jest transcendentalne w 1873 roku.
Ferdinand von Lindemann udowodnił, że π jest przestępne w 1882 roku.
Była to pierwsza liczba, dla której udowodniono jej transcendentalną własność.
Specjalne klasy liczb
Oprócz głównych kategorii istnieją określone typy liczb o unikalnych właściwościach.
Liczby kwadratowe to liczby całkowite będące kwadratem innej liczby całkowitej. 9 jest liczbą kwadratową, ponieważ 3² = 9.
Doskonałe liczby są rzadkie. Są równe sumie swoich własnych dzielników. Na przykład 6 jest liczbą doskonałą. Jego właściwymi dzielnikami są 1, 2 i 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Liczby losowe reprezentują wyniki procedur losowej selekcji. Nie wyznacza ich formuła, ale sposób ich generowania.
Liczby pierwsze to liczby całkowite większe niż 1. Ich jedynymi dodatnimi dzielnikami są 1 i one same. 2, 3, 5, 7 i 11 to liczby pierwsze. 4 – nie. Jest podzielna przez 2.
Klasyfikacje te pomagają nam uporządkować nieskończony świat liczb. Zapewniają strukturę. Umożliwiają dokładne obliczenia. Bez nich matematyka byłaby chaosem.
Jakiego rodzaju liczb używasz najczęściej w życiu codziennym? Prawdopodobnie racjonalne. Ale im głębiej schodzisz, tym robi się dziwniej.
