Zahlen sind nicht nur abstrakte Symbole. Sie sind die Bausteine der Realität.
Eine Zahl ist eine beliebige positive oder negative ganze Zahl. Es kann sich auch um eine beliebige reelle oder komplexe Zahl handeln. Komplexe Zahlen haben die Form a + bi. Hier sind a und b reelle Zahlen. Das i ist die Quadratwurzel von negativ eins.
Wenn b Null und a ungleich Null ist, erhält man eine rein imaginäre Zahl. Wenn sowohl a als auch b ungleich Null sind, handelt es sich um eine gemischte komplexe Zahl.
Das reelle Zahlensystem
Reelle Zahlen sind eine riesige Gruppe. Sie umfassen rationale und irrationale Zahlen.
Rationale Zahlen sind einfach. Sie können sie als Ganzzahlen oder als Quotient zweier Ganzzahlen schreiben.
– 12 ist rational.
– 13/5 ist rational.
– -4/11 ist rational.
Alle rationalen Zahlen sind auch algebraisch. Dies bedeutet, dass sie Wurzeln einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten sind.
Irrationale Zahlen sind anders. Sie können sie nicht als einfachen Bruch ausdrücken. Die Quadratwurzel aus 2 ist ein klassisches Beispiel. Es geht ewig so weiter, ohne es zu wiederholen.
Transzendente Zahlen erklärt
Nicht alle irrationalen Zahlen sind algebraisch. Einige können nicht die Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten sein. Das sind transzendente Zahlen.
Diese Unterscheidung ist wichtig. Es trennt Zahlen wie die Quadratwurzel aus 2 von anderen.
Die Quadratwurzel aus 2 ist algebraisch. Es löst die Gleichung x² = 2.
Aber viele Irrationale lösen solche Gleichungen nicht.
Die Basis des natürlichen Logarithmus, e, ist transzendental. Pi, π, ist ebenfalls transzendent. Dies gilt auch für bestimmte Kombinationen dieser beiden.
Die Geschichte zeigt, dass dies schwer zu beweisen war.
Charles Hermite bewies 1873, dass e transzendental sei.
Ferdinand von Lindemann bewies 1882, dass π transzendental ist.
Das war die erste Zahl, die sich jemals als transzendent erwies.
Spezielle Nummernklassen
Über die Hauptkategorien hinaus gibt es bestimmte Arten von Zahlen mit einzigartigen Merkmalen.
Quadratzahlen sind ganze Zahlen, die das Quadrat einer anderen ganzen Zahl sind. 9 ist eine Quadratzahl, weil 3² = 9.
Perfekte Zahlen sind selten. Sie sind gleich der Summe ihrer Eigenfaktoren. Beispielsweise ist 6 perfekt. Seine richtigen Faktoren sind 1, 2 und 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Zufallszahlen stellen Ergebnisse von Zufallsauswahlverfahren dar. Sie werden nicht durch eine Formel definiert, sondern durch ihre Generierungsmethode.
Primzahlen sind ganze Zahlen größer als 1. Ihre einzigen positiven Teiler sind 1 und sie selbst. 2, 3, 5, 7 und 11 sind Primzahlen. 4 ist nicht. Es ist durch 2 teilbar.
Diese Klassifizierungen helfen uns, die unendliche Welt der Zahlen zu organisieren. Sie sorgen für Struktur. Sie ermöglichen eine präzise Berechnung. Ohne sie wäre die Mathematik ein chaotisches Durcheinander.
Welche Art von Nummer verwenden Sie im täglichen Leben am häufigsten? Wahrscheinlich rationale. Aber je tiefer man geht, desto seltsamer wird es.
