Esta questão tem ocupado as mentes mais brilhantes desde o início do século. Foi introduzido por Henri Poincaré em 1904. Ele tentou classificar variedades, mas não conseguiu. O espaço tridimensional se comportou de maneira diferente do que ele poderia facilmente imaginar. Ele se perguntou se todas as variedades tridimensionais fechadas simplesmente conectadas correspondiam topologicamente à esfera 3. Esta é a conjectura de Poincaré.
Estava lá há muito tempo. É apenas um palpite. Problemas abertos em topologia algébrica. Hoje, este é um teorema comprovado. Mas chegar lá levou mais de 100 anos e exigiu algumas das mentes mais perspicazes da matemática.
O que esses termos realmente significam
Você não precisa de um PhD para entender isso, mas as definições são importantes. Veja como decompô-lo:
“Simplesmente conectado” parece técnico, mas significa simplesmente que não há buracos no espaço. Pense em um balão. Não há buracos. Um donut faz isso. Há um buraco no centro do donut. Os balões são simplesmente conectados.
“Fechado” é mais preciso. Isto significa que a forma contém todos os seus pontos limites. Se estiver próximo o suficiente de qualquer uma das arestas, os outros pontos do grupo também estarão próximos. Não há bordas soltas ou lacunas.
O coletor 3D é uma versão abstrata de uma superfície curva. Vivemos no espaço 3D. Uma variedade é um espaço que localmente se parece com o nosso espaço, embora seja distorcido globalmente.
“Equivalência topológica” (ou homeomorfismo) significa que uma forma pode ser esticada, torcida ou dobrada em outra sem rasgar a forma ou colar as partes. Se você puder fazer isso, eles serão idênticos do ponto de vista topológico.
Uma 3-esfera (denotada S 3) é um conjunto de pontos no espaço quadridimensional que estão a uma distância fixa da origem. Esta é uma generalização de alta dimensão de uma esfera regular.
Linha do tempo das dimensões
Essa especulação não se limita ao 3D. Poincaré posteriormente estendeu essa ideia para n dimensões. Ele propôs que toda variedade compacta n -dimensional é equivalente à homotopia da esfera n se e somente se for homeomórfica à esfera n. Simplificando, uma esfera n é um espaço dimensional n limitado sem buracos.
Os matemáticos estudam problemas em uma dimensão de cada vez.
- **Se n = 1: ** Isso é fácil. Uma variedade unidimensional compacta, fechada e simplesmente conectada é homeomórfica a um círculo. Simples.
- **Se n = 2: ** Esta é uma esfera comum. Este problema foi resolvido no século XIX.
- N ≥ 5: Em 1961, o matemático americano Stephen Smale mostrou que esta suposição era verdadeira para essas dimensões superiores. Ele ganhou a Medalha Fields por este trabalho.
- Se n = 4: O matemático americano Michael Freedman resolveu este problema em 1983. Os casos 4D são complicados porque as dimensões interagem. Ele também ganhou a Medalha Fields.
- N = 3: Esta é a parte mais difícil. A conjectura original de Poincaré.
Solução 3D
O caso n = 3 permaneceu sem solução até que Grigori Perelman o propôs.
Perelman foi um matemático russo. Em 2002, ele postou sua prova online. Ele inicialmente não o submeteu a um periódico revisado por pares. Ele postou na Internet. Isso causou um rebuliço. As provas em formas não tradicionais tiveram que ser verificadas pela comunidade matemática.
Outros matemáticos passaram anos verificando seu trabalho. Eles confirmaram que isso estava correto. A prova é baseada na teoria do fluxo de Ricci de Richard Hamilton, que Perelman refinou e aplicou para resolver o problema.
Perelman recebeu a Medalha Fields em 2006 por suas contribuições. ele recusou. Ele também é elegível para uma recompensa de US$ 1 milhão do Clay Mathematics Institute (CMI) em Cambridge, Massachusetts. Este é um dos sete Problemas do Milénio. Perelman também rejeitou isso.
O CMI estava relutante em recompensar o financiamento porque Perelman não publicou um artigo em um periódico revisado por pares conforme exigido. Só em 2010, quando outros matemáticos publicaram confirmações em revistas especializadas, é que o CMI ofereceu um prémio de 1 milhão de dólares. Perelman recusou novamente.
Por que é importante?
A conjectura de Poincaré não é apenas uma resposta trivial. Isso nos ajuda a entender a forma do universo. Se o universo for uma variedade tridimensional, ele está simplesmente conectado? Existem buracos? As ferramentas desenvolvidas para provar esta conjectura mudaram a topologia. Eles permitem que os matemáticos classifiquem espaços com os quais antes apenas sonhavam.
Também mostra como a matemática se desenvolveu. Smale e Freedman resolveram parte do quebra-cabeça. Perelman terminou. Mas a história não termina com prêmios em dinheiro ou medalhas. Termina com uma compreensão mais profunda do próprio espaço.
