Jaki jest najuczciwszy sposób podziału puli, jeśli losowa gra została przerwana w środku?
Wyobraź sobie, że ty i twój przyjaciel stawiacie 50 dolarów w grze w rzut monetą. Celem jest zdobycie 10 punktów jako pierwszy. W tej chwili wynik jest 8:6 na Twoją korzyść. Nagle w wyniku nagłej sytuacji Twój przyjaciel jest zmuszony wyjechać. Nie chcesz mu oddać swoich 50 dolarów, bo to ty prowadzisz konto, ale on nie zgadza się oddać całych 100 dolarów, bo wciąż ma szansę na powrót.
Dylemat ten, znany jako problem punktów, od ponad 150 lat wprawia w zakłopotanie niektóre z największych umysłów matematyki. Poszukiwanie rozwiązania ostatecznie doprowadziło do narodzin teorii prawdopodobieństwa, dziedziny wiedzy, która dziś reguluje wszystko, od giełdy po składki ubezpieczeniowe.
Złe decyzje: proporcje i postęp
Do połowy XVII wieku matematycy próbowali rozwiązać ten problem za pomocą logiki, która choć wydawała się intuicyjna, miała wady matematyczne.
- Podejście proporcjonalne (1494): Luca Pacioli zasugerował, że gracze powinni dzielić pulę na podstawie aktualnego wyniku. W naszym przykładzie 8:6 wziąłbyś 8/14 puli (57,14 $), a twój znajomy 6/14 (42,86 $). Jednak ta metoda zawodzi w skrajnych przypadkach: jeśli gra zostanie przerwana po pierwszym rzucie, zwycięzca zgarnie całą pulę, chociaż wynik gry nie jest przesądzony.
- Podejście oparte na postępie: Niccolo Fontana „Tartaglia” próbował rozwiązać problem, szacując, jak blisko mety znajdował się gracz. Twierdził, że udział gracza powinien być uzależniony od jego postępów w stosunku do wymaganej liczby punktów. Chociaż metoda ta była bardziej sprawiedliwa niż metoda Pacioli, nadal nie uwzględniała rzeczywistego matematycznego prawdopodobieństwa wygranej, co często skutkowało wypłatami niezgodnymi z rzeczywistymi kursami.
Przełom: Pascal i Fermat
Impas został przełamany w latach pięćdziesiątych XVII wieku, kiedy francuski społecznik poprosił matematyka Blaise’a Pascala o rozwiązanie problemu. Pascal zwrócił się do swojego kolegi Pierre’a Fermata i ich korespondencja na zawsze zmieniła matematykę.
Zrozumieli, że „sprawiedliwy” podział nie powinien opierać się na wynikach w tej chwili, ale na możliwych przyszłych scenariuszach. Doszli do tego samego wniosku, stosując dwie różne, ale genialne metody.
Metoda Fermata: wyliczenie wszystkich możliwych przyszłości
Fermat zasugerował rozważenie każdego możliwego scenariusza kontynuacji gry. Gdyby do zakończenia gry pozostało pięć rzutów, zapisywałby każdą możliwą sekwencję orłów i reszek. Następnie policzy, ile z tych sekwencji zakończy się zwycięstwem Gracza A, a ile zakończy się zwycięstwem Gracza B.
W naszym scenariuszu 8:6 Fermat obliczyłby, że dla pozostałych rzutów są 32 możliwe wyniki. Odkrył, że w 26 z tych scenariuszy Gracz A wygrywa. Dlatego Gracz A jest uprawniony do 81,25% puli (81,25 $).
Metoda Pascala: siła oczekiwań matematycznych
Chociaż metoda Fermata była dokładna, była niepraktyczna w przypadku długich gier. Gdyby pozostało 20 rzutów, należałoby obliczyć ponad milion różnych scenariuszy.
Pascal rozwiązał ten problem, pracując wstecz, stosując koncepcję, którą teraz nazywamy oczekiwaniem. Zaczął od najprostszego scenariusza: jeśli wynik jest remisowy (9–9), pula jest dzielona w stosunku 50–50. Potem cofnął się o krok: jeśli wynik wynosi 9–8, to istnieje 50% szans, że lider od razu wygra i 50% szans, że wynik będzie remisowy. Uśredniając te możliwości, mógł krok po kroku obliczyć wartość dowolnego konta, bez konieczności wyliczania wszystkich możliwych kontraktów futures.
Dlaczego jest to dziś ważne?
Zbieżność metod Pascala i Fermata udowodniła, że prawdopodobieństwo to nie tylko to, co już się wydarzyło, ale średnia ważona tego, co może się wydarzyć.
To przejście od analizy przeszłości (rachunek bieżący) do obliczania ważonych prawdopodobieństw przyszłości stanowi podstawę współczesnej analizy ryzyka.
Dziś ta logika służy jako silnik naszego współczesnego świata. Kiedy firma ubezpieczeniowa oblicza składkę lub fundusz hedgingowy zarządza portfelem, wykorzystuje pochodne logiki Pascala i Fermata, aby porównać potencjalne straty z potencjalnymi zyskami.
Wniosek: próbując rozwiązać prosty spór dotyczący hazardu, matematycy wyszli poza prostą arytmetykę i odkryli matematykę niepewności, tworząc narzędzia potrzebne do poruszania się w świecie napędzanym ryzykiem.
