Qual è il modo più giusto per dividere una somma di denaro quando un gioco d’azzardo viene interrotto a metà?
Immagina che tu e un amico abbiate scommesso $ 50 ciascuno su un gioco di lancio della moneta. L’obiettivo è essere il primo a raggiungere 10 punti. Il punteggio è attualmente da 8 a 6 a tuo favore. All’improvviso, un’emergenza costringe il tuo amico ad andarsene. Non vuoi restituire i loro $ 50 perché stai vincendo, ma non accetteranno di consegnare tutti i $ 100 perché hanno ancora la possibilità di tornare in auge.
Questo dilemma, noto come il “problema dei punti”, ha sconcertato le più grandi menti della matematica per oltre 150 anni. La ricerca per risolverlo alla fine portò alla nascita della teoria della probabilità, un campo che ora governa tutto, dal mercato azionario ai premi assicurativi.
Le soluzioni fallite: proporzione e progresso
Prima della metà del XVII secolo, i matematici tentarono di risolvere questo problema utilizzando la logica che, sebbene intuitiva, era matematicamente imperfetta.
- L’approccio proporzionale (1494): Luca Pacioli ha suggerito che i giocatori dovrebbero dividere il piatto in base al loro punteggio attuale. Nel nostro esempio 8–6, tu prenderesti 8/14 del piatto ($57,14) e il tuo amico prenderebbe 6/14 ($42,86). Tuttavia, ciò fallisce in casi estremi: se il gioco viene interrotto dopo un solo lancio, il vincitore prenderebbe l’intero piatto, anche se il gioco è lungi dall’essere deciso.
- L’approccio del progresso: Niccolò Fontana “Tartaglia” ha tentato di risolvere questo problema osservando quanto vicino era un giocatore al traguardo. Ha sostenuto che la quota di un giocatore dovrebbe essere basata sui suoi progressi rispetto ai punti totali necessari. Anche se più equo del metodo di Pacioli, non riusciva comunque a tenere conto dell’effettiva probabilità matematica di vincita, spesso risultando in pagamenti che non riflettevano le quote reali.
La svolta: Pascal e Fermat
La situazione di stallo fu risolta nel 1650 quando una persona mondana francese chiese al matematico Blaise Pascal di risolvere il problema. Pascal si rivolse al suo collega Pierre de Fermat e la loro corrispondenza cambiò per sempre la matematica.
Si sono resi conto che una divisione “equa” non dovrebbe basarsi sul punteggio così com’è, ma sul possibile futuro del gioco. Sono arrivati alla stessa conclusione utilizzando due metodi diversi e brillanti.
Metodo di Fermat: esaurire tutti i futuri
Fermat propose di considerare ogni possibile modo in cui il gioco potesse continuare. Se mancano cinque lanci per decidere il gioco, elencherà ogni singola possibile sequenza di testa e croce. Ha poi contato quante di quelle sequenze hanno portato alla vittoria del Giocatore A rispetto al Giocatore B.
Nel nostro scenario 8–6, Fermat calcolerebbe che ci sono 32 possibili risultati per i lanci rimanenti. Ha scoperto che il giocatore A vince in 26 di questi scenari. Pertanto, il giocatore A ha diritto all’81,25% del piatto ($81,25).
Metodo di Pascal: il potere del valore atteso
Sebbene il metodo di Fermat fosse accurato, non era pratico per i giochi lunghi. Se rimanessero 20 lanci, dovresti calcolare oltre un milione di futuri diversi.
Pascal ha risolto questo problema lavorando all’indietro utilizzando un concetto che ora chiamiamo “valore atteso”. Ha iniziato con lo scenario più semplice possibile: se il punteggio è pari (9–9), il piatto viene diviso 50/50. Ha poi fatto un passo indietro: se il punteggio è 9–8, c’è una probabilità del 50% che il leader vinca immediatamente e una probabilità del 50% che pareggia. Facendo la media di queste possibilità, poteva calcolare il valore di qualsiasi punteggio, passo dopo passo, senza dover elencare ogni singolo futuro.
Perché questo è importante oggi
La convergenza dei metodi di Pascal e Fermat ha dimostrato che la probabilità non riguarda solo ciò che è accaduto, ma anche la media ponderata di ciò che potrebbe accadere.
Questo passaggio dal guardare al passato (il punteggio attuale) al calcolare le possibilità ponderate del futuro è il fondamento della moderna valutazione del rischio.
Oggi, questa logica è il motore dietro gran parte del nostro mondo moderno. Quando una compagnia assicurativa calcola il premio o un hedge fund gestisce un portafoglio, utilizza i discendenti della logica di Pascal e Fermat per valutare le potenziali perdite rispetto ai potenziali guadagni.
Conclusione: Tentando di risolvere una semplice disputa sul gioco d’azzardo, i matematici sono andati oltre la semplice aritmetica per scoprire la matematica dell’incertezza, fornendo gli strumenti necessari per navigare in un mondo guidato dal rischio.
