Apa cara paling adil untuk membagi sejumlah uang ketika permainan untung-untungan terhenti di tengah jalan?
Bayangkan Anda dan seorang teman masing-masing bertaruh $50 pada permainan melempar koin. Tujuannya adalah menjadi yang pertama mencapai 10 poin. Skor saat ini 8 hingga 6 menguntungkan Anda. Tiba-tiba, keadaan darurat memaksa teman Anda untuk pergi. Anda tidak ingin mengembalikan $50 mereka karena Anda menang, namun mereka tidak akan setuju untuk menyerahkan $100 penuh karena mereka masih memiliki kesempatan untuk kembali.
Dilema ini, yang dikenal sebagai “masalah poin”, membingungkan para pemikir terhebat dalam matematika selama lebih dari 150 tahun. Upaya untuk memecahkannya akhirnya melahirkan teori probabilitas, sebuah bidang yang kini mengatur segalanya mulai dari pasar saham hingga premi asuransi.
Solusi yang Gagal: Proporsi dan Kemajuan
Sebelum pertengahan abad ke-17, para ahli matematika berusaha memecahkan masalah ini dengan menggunakan logika yang, meskipun intuitif, namun secara matematis memiliki kelemahan.
- Pendekatan Proporsional (1494): Luca Pacioli menyarankan agar pemain membagi pot berdasarkan skor mereka saat ini. Dalam contoh 8–6 kami, Anda akan mengambil 8/14 pot ($57,14) dan teman Anda akan mengambil 6/14 ($42,86). Namun, hal ini gagal dalam kasus ekstrim: jika permainan dihentikan setelah hanya satu kali flip, pemenang akan mengambil seluruh pot, meskipun permainan masih jauh dari ditentukan.
- Pendekatan Kemajuan: Niccolò Fontana “Tartaglia” mencoba menyelesaikan masalah ini dengan melihat seberapa dekat seorang pemain dengan garis finis. Dia berpendapat bahwa bagian pemain harus didasarkan pada kemajuan mereka relatif terhadap total poin yang dibutuhkan. Meskipun lebih adil dibandingkan metode Pacioli, metode ini masih gagal memperhitungkan kemungkinan matematis sebenarnya untuk menang, sehingga seringkali menghasilkan pembayaran yang tidak mencerminkan peluang sebenarnya.
Terobosan: Pascal dan Fermat
Kebuntuan terpecahkan pada tahun 1650-an ketika seorang sosialita Perancis meminta ahli matematika Blaise Pascal untuk memecahkan masalah tersebut. Pascal menoleh ke rekannya Pierre de Fermat, dan korespondensi mereka mengubah matematika selamanya.
Mereka menyadari bahwa pembagian yang “adil” tidak boleh didasarkan pada skor sebagaimana adanya, tetapi pada kemungkinan masa depan dari permainan. Mereka sampai pada kesimpulan yang sama dengan menggunakan dua metode yang berbeda dan brilian.
Metode Fermat: Melelahkan Semua Masa Depan
Fermat mengusulkan untuk mempertimbangkan segala cara yang memungkinkan agar permainan dapat dilanjutkan. Jika ada lima lemparan tersisa untuk menentukan permainan, dia akan membuat daftar setiap kemungkinan urutan kepala dan ekor. Dia kemudian menghitung berapa banyak dari rangkaian tersebut yang menghasilkan kemenangan bagi Pemain A versus Pemain B.
Dalam skenario 8–6 kita, Fermat akan menghitung bahwa ada 32 kemungkinan hasil untuk pembalikan yang tersisa. Dia menemukan bahwa Pemain A menang dalam 26 skenario tersebut. Oleh karena itu, Pemain A berhak atas 81,25% dari pot ($81,25).
Metode Pascal: Kekuatan Nilai yang Diharapkan
Meskipun metode Fermat akurat, namun tidak praktis untuk permainan jarak jauh. Jika masih ada 20 pembalikan, Anda harus menghitung lebih dari satu juta masa depan yang berbeda.
Pascal memecahkan masalah ini dengan bekerja mundur menggunakan konsep yang sekarang kita sebut “nilai yang diharapkan”. Dia memulai dengan skenario yang paling sederhana: jika skornya imbang (9–9), potnya dibagi 50/50. Dia kemudian mundur selangkah: jika skornya 9–8, ada 50% kemungkinan pemimpin akan langsung menang dan 50% kemungkinan mereka seri. Dengan merata-ratakan kemungkinan-kemungkinan ini, dia dapat menghitung nilai skor apa pun, langkah demi langkah, tanpa harus membuat daftar setiap masa depan.
Mengapa Ini Penting Saat Ini
Konvergensi metode Pascal dan Fermat membuktikan bahwa probabilitas bukan hanya tentang apa yang telah terjadi, namun tentang rata-rata tertimbang dari apa yang bisa terjadi.
Pergeseran dari melihat masa lalu (skor saat ini) ke menghitung kemungkinan masa depan yang tertimbang merupakan dasar dari penilaian risiko modern.
Saat ini, logika inilah yang mendasari sebagian besar dunia modern kita. Saat perusahaan asuransi menghitung premi Anda, atau dana lindung nilai mengelola portofolio, mereka menggunakan logika turunan Pascal dan Fermat untuk mempertimbangkan potensi kerugian dibandingkan potensi keuntungan.
Kesimpulan: Dengan mencoba menyelesaikan perselisihan perjudian sederhana, para ahli matematika bergerak lebih dari sekadar aritmatika untuk menemukan matematika ketidakpastian, dengan menyediakan alat yang diperlukan untuk menavigasi dunia yang didorong oleh risiko.
