Deze vraag houdt de slimste geesten sinds het begin van deze eeuw bezig. Het werd geïntroduceerd door Henri Poincaré in 1904. Hij probeerde spruitstukken te classificeren, maar liep tegen een muur aan. De driedimensionale ruimte gedroeg zich anders dan hij zich gemakkelijk kon voorstellen. Hij vroeg zich af of alle eenvoudig verbonden gesloten driedimensionale spruitstukken topologisch overeenkwamen met de 3-sfeer. Dit is het vermoeden van Poincaré.
Het was er al een hele tijd. Het is maar een gok. Open problemen in de algebraïsche topologie. Tegenwoordig is dit een bewezen stelling. Maar om daar te komen duurde meer dan 100 jaar en vereiste enkele van de scherpste geesten op het gebied van de wiskunde.
Wat deze termen eigenlijk betekenen
Je hebt geen PhD nodig om dit te begrijpen, maar definities zijn belangrijk. Zo kun je het opsplitsen:
‘Simply connected’ klinkt technisch, maar betekent simpelweg dat er geen gaten in de ruimte zitten. Denk aan een ballon. Er zijn geen gaten. Een donut wel. In het midden van de donut zit een gat. Ballonnen zijn eenvoudig met elkaar verbonden.
“Gesloten” is nauwkeuriger. Dit betekent dat de vorm al zijn limietpunten bevat. Als het dichtbij genoeg is bij een van beide randen, zullen de andere punten in de groep ook dichtbij zijn. Er zijn geen losse randen of gaten.
Het 3D-spruitstuk is een abstracte versie van een gebogen oppervlak. We leven in de 3D-ruimte. Een spruitstuk is een ruimte die lokaal op onze ruimte lijkt, ook al is deze globaal verwrongen.
“Topologische gelijkwaardigheid” (of homeomorfisme) betekent dat de ene vorm kan worden uitgerekt, gedraaid of gebogen in een andere vorm zonder de vorm te scheuren of de delen aan elkaar te lijmen. Als je dat kunt doen, zijn ze vanuit topologisch oogpunt identiek.
Een 3-bol (aangeduid als S 3) is een reeks punten in de vierdimensionale ruimte die zich op een vaste afstand van de oorsprong bevinden. Dit is een hoogdimensionale generalisatie van een regelmatige sfeer.
Tijdlijn van dimensies
Deze speculatie beperkt zich niet tot 3D. Poincaré breidde dit idee later uit naar n dimensies. Hij stelde voor dat elke compacte n -dimensionale variëteit homotopie-equivalent is van de n -sfeer als en slechts als deze homeomorf is met de n -sfeer. Simpel gezegd is een n bol een slechts begrensde n dimensionale ruimte zonder gaten.
Wiskundigen bestuderen problemen dimensie voor dimensie.
- **Als n = 1: ** Dit is eenvoudig. Een compact, gesloten, eenvoudig verbonden eendimensionaal verdeelstuk is homeomorf met een cirkel. Eenvoudig.
- **Als n = 2: ** Dit is een gewone bol. Dit probleem werd in de 19e eeuw opgelost.
- N ≥ 5: In 1961 toonde de Amerikaanse wiskundige Stephen Smale aan dat deze aanname gold voor deze hogere dimensies. Voor dit werk won hij de Fields Medal.
- Als n = 4: De Amerikaanse wiskundige Michael Freedman loste dit probleem in 1983 op. 4D-gevallen zijn lastig omdat de dimensies op elkaar inwerken. Hij won ook de Fields-medaille.
- N = 3: Dit is het moeilijkste deel. Poincaré’s oorspronkelijke vermoeden.
3D-oplossing
De zaak n = 3 bleef onopgelost totdat Grigori Perelman deze voorstelde.
Perelman was een Russische wiskundige. In 2002 plaatste hij zijn bewijs online. Hij heeft het aanvankelijk niet ingediend bij een peer-reviewed tijdschrift. Hij plaatste het op internet. Dit veroorzaakte opschudding. Bewijzen in niet-traditionele vormen moesten door de wiskundige gemeenschap worden geverifieerd.
Andere wiskundigen hebben jarenlang zijn werk gecontroleerd. Zij bevestigden dat dit juist was. Het bewijs is gebaseerd op de Ricci-stromingstheorie van Richard Hamilton, die Perelman verfijnde en toepaste om het probleem op te lossen.
Perelman ontving in 2006 de Fields-medaille voor zijn bijdragen. hij weigerde. Hij komt ook in aanmerking voor een beloning van $ 1 miljoen van het Clay Mathematics Institute (CMI) in Cambridge, Massachusetts. Dit is een van de zeven millenniumproblemen. Ook dit heeft Perelman afgewezen.
CMI aarzelde om financiering te belonen omdat Perelman een artikel in een peer-reviewed tijdschrift niet publiceerde, zoals vereist. Pas in 2010, toen andere wiskundigen bevestigingen publiceerden in peer-reviewed tijdschriften, bood CMI een prijs van $ 1 miljoen aan. Perelman weigerde opnieuw.
Waarom is het belangrijk?
Het vermoeden van Poincaré is niet zomaar een triviaal antwoord. Het helpt ons de vorm van het universum te begrijpen. Als het universum een driedimensionaal spruitstuk is, is het dan eenvoudigweg met elkaar verbonden? Zijn er gaten? De tools die zijn ontwikkeld om dit vermoeden te bewijzen, hebben de topologie veranderd. Ze stellen wiskundigen in staat ruimtes te classificeren waar ze voorheen alleen maar van konden dromen.
Het laat ook zien hoe de wiskunde zich ontwikkelde. Smale en Freedman hebben een deel van de puzzel opgelost. Perelman maakte het af. Maar het verhaal eindigt niet bij prijzengeld of medailles. Het eindigt met een dieper begrip van de ruimte zelf.
