Getallen zijn niet alleen abstracte symbolen. Het zijn de bouwstenen van de werkelijkheid.
Een getal is een positief of negatief geheel getal. Het kan ook elk reëel of complex getal zijn. Complexe getallen hebben de vorm a + bi. Hier zijn a en b reële getallen. De i is de wortel van de negatieve één.
Als b nul is en a niet nul, krijg je een puur denkbeeldig getal. Wanneer zowel a als b niet nul zijn, is het een gemengd complex getal.
Het echte nummersysteem
Reële cijfers vormen een enorme groep. Ze omvatten rationale en irrationele getallen.
Rationele cijfers zijn eenvoudig. Je kunt ze schrijven als gehele getallen of als het quotiënt van twee gehele getallen.
– 12 is rationeel.
– 13/5 is rationeel.
– -4/11 is rationeel.
Alle rationale getallen zijn ook algebraïsch. Dit betekent dat ze wortels zijn van een polynoomvergelijking met rationale coëfficiënten.
Irrationele getallen zijn anders. Je kunt ze niet uitdrukken als een eenvoudige breuk. De vierkantswortel van 2 is een klassiek voorbeeld. Het gaat eeuwig door zonder herhaling.
Transcendente getallen uitgelegd
Niet alle irrationele getallen zijn algebraïsch. Sommige kunnen niet de oplossing zijn voor een polynoomvergelijking met rationale coëfficiënten. Dit zijn transcendentale getallen.
Dit onderscheid is van belang. Het scheidt getallen zoals de vierkantswortel van 2 van andere.
De vierkantswortel van 2 is algebraïsch. Het lost de vergelijking x² = 2 op.
Maar veel irrationele getallen lossen dergelijke vergelijkingen niet op.
De basis van de natuurlijke logaritme, e, is transcendentaal. Pi, π, is ook transcendentaal. Dat geldt ook voor bepaalde combinaties van deze twee.
De geschiedenis leert dat dit een moeilijk feit was om te bewijzen.
Charles Hermite bewees in 1873 dat e transcendentaal was.
Ferdinand von Lindemann bewees in 1882 dat π transcendentaal was.
Dat was het eerste getal dat ooit transcendentaal bleek te zijn.
Speciale nummerklassen
Naast de hoofdcategorieën zijn er specifieke soorten getallen met unieke eigenschappen.
Vierkante getallen zijn gehele getallen die het kwadraat zijn van een ander geheel getal. 9 is een kwadraatgetal omdat 3² = 9.
Perfecte cijfers zijn zeldzaam. Ze zijn gelijk aan de som van hun eigen factoren. 6 is bijvoorbeeld perfect. De juiste factoren zijn 1, 2 en 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Willekeurige getallen vertegenwoordigen de uitkomsten van willekeurige selectieprocedures. Ze worden niet gedefinieerd door een formule, maar door hun generatiemethode.
Priemgetallen zijn gehele getallen groter dan 1. Hun enige positieve delers zijn 1 en zichzelf. 2, 3, 5, 7 en 11 zijn priemgetallen. 4 niet. Het is deelbaar door 2.
Deze classificaties helpen ons de oneindige wereld van getallen te organiseren. Ze zorgen voor structuur. Ze maken nauwkeurige berekeningen mogelijk. Zonder hen zou de wiskunde een chaotische puinhoop zijn.
Welk type nummer gebruikt u het vaakst in het dagelijks leven? Waarschijnlijk rationele. Maar hoe dieper je gaat, hoe vreemder het wordt.
