Числа — это не просто абстрактные символы. Они являются строительными блоками реальности.
Число — это любая положительная или отрицательная целая величина. Это также может быть любое действительное или комплексное число. Комплексные числа имеют вид a + bi. Здесь a и b — действительные числа. i — это квадратный корень из отрицательной единицы.
Когда b равно нулю, а a не равно нулю, получается чисто мнимое число. Когда и a, и b не равны нулю, это смешанное комплексное число.
Система действительных чисел
Действительные числа — это огромная группа. Они включают рациональные и иррациональные числа.
Рациональные числа просты. Их можно записать в виде целых чисел или в виде частного двух целых чисел.
— 12 — рациональное число.
— 13/5 — рациональное число.
— -4/11 — рациональное число.
Все рациональные числа также являются алгебраическими. Это означает, что они являются корнями полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами.
Иррациональные числа — это другое дело. Их нельзя выразить в виде простой дроби. Классическим примером является квадратный корень из 2. Он продолжается бесконечно без повторения.
Объяснение трансцендентных чисел
Не все иррациональные числа являются алгебраическими. Некоторые не могут быть решением полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это трансцендентные числа.
Это различие имеет значение. Оно отделяет такие числа, как квадратный корень из 2, от других.
Квадратный корень из 2 является алгебраическим. Он решает уравнение x² = 2.
Но многие иррациональные числа не решают таких уравнений.
Основание натурального логарифма, e, является трансцендентным. Число Пи, π, также является трансцендентным. Так же, как и некоторые комбинации этих двух чисел.
История показывает, что это было трудным фактом для доказательства.
Шарль Эрмит доказал, что e является трансцендентным, в 1873 году.
Фердинанд фон Линдеман доказал, что π является трансцендентным, в 1882 году.
Это было первое число, для которого было доказано его трансцендентное свойство.
Особые классы чисел
Помимо основных категорий, существуют конкретные типы чисел с уникальными свойствами.
Квадратные числа — это целые числа, которые являются квадратом другого целого числа. 9 — квадратное число, потому что 3² = 9.
Совершенные числа — редкость. Они равны сумме своих собственных делителей. Например, 6 — совершенное число. Его собственные делители: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Случайные числа представляют собой результаты процедур случайного выбора. Они не определяются формулой, а методом их генерации.
Простые числа — это целые числа, большие 1. Их единственными положительными делителями являются 1 и они сами. 2, 3, 5, 7 и 11 — простые числа. 4 — нет. Оно делится на 2.
Эти классификации помогают нам организовать бесконечный мир чисел. Они обеспечивают структуру. Они позволяют производить точные вычисления. Без них математика была бы хаотичным беспорядком.
Какой тип чисел вы используете чаще всего в повседневной жизни? Вероятно, рациональные. Но чем глубже вы погружаетесь, тем страннее это становится.
