Les nombres ne sont pas que des symboles abstraits. Ce sont les éléments constitutifs de la réalité.
Un nombre est n’importe quel entier positif ou négatif. Il peut également s’agir de n’importe quel nombre réel ou complexe. Les nombres complexes prennent la forme a + bi. Ici, a et b sont des nombres réels. Le i est la racine carrée de moins un.
Lorsque b est nul et a est non nul, vous obtenez un nombre imaginaire pur. Lorsque a et b sont tous deux non nuls, il s’agit d’un nombre complexe mixte.
Le système de nombres réels
Les chiffres réels constituent un groupe énorme. Ils comprennent des nombres rationnels et irrationnels.
Les nombres rationnels sont simples. Vous pouvez les écrire sous forme de nombres entiers ou sous forme de quotient de deux nombres entiers.
– 12 est rationnel.
– 13/5 est rationnel.
– -4/11 est rationnel.
Tous les nombres rationnels sont également algébriques. Cela signifie qu’il s’agit des racines d’une équation polynomiale à coefficients rationnels.
Les nombres irrationnels sont différents. Vous ne pouvez pas les exprimer sous forme de simple fraction. La racine carrée de 2 est un exemple classique. Cela continue indéfiniment sans se répéter.
Les nombres transcendantaux expliqués
Tous les nombres irrationnels ne sont pas algébriques. Certains ne peuvent pas être la solution d’une équation polynomiale à coefficients rationnels. Ce sont des nombres transcendantaux.
Cette distinction est importante. Il sépare les nombres comme la racine carrée de 2 des autres.
La racine carrée de 2 est algébrique. Il résout l’équation x² = 2.
Mais de nombreux irrationnels ne résolvent pas de telles équations.
La base du logarithme népérien, e, est transcendantale. Pi, π, est également transcendantal. Il en va de même pour certaines combinaisons de ces deux éléments.
L’histoire montre que c’était un fait difficile à prouver.
Charles Hermite a prouvé qu’il était transcendantal en 1873.
Ferdinand von Lindemann a prouvé que π était transcendantal en 1882.
C’était le premier numéro qui se révélait transcendantal.
Classes de numéros spéciaux
Au-delà des catégories principales, il existe des types spécifiques de nombres présentant des caractéristiques uniques.
Les nombres carrés sont des entiers qui sont le carré d’un autre entier. 9 est un nombre carré car 3² = 9.
Les nombres parfaits sont rares. Ils sont égaux à la somme de leurs facteurs propres. Par exemple, 6 est parfait. Ses facteurs propres sont 1, 2 et 3. 1 + 2 + 3 = 6.
Les nombres aléatoires représentent les résultats des procédures de sélection aléatoire. Ils ne sont pas définis par une formule mais par leur méthode de génération.
Les nombres premiers sont des entiers supérieurs à 1. Leurs seuls diviseurs positifs sont 1 et eux-mêmes. 2, 3, 5, 7 et 11 sont premiers. 4 ne l’est pas. Il est divisible par 2.
Ces classifications nous aident à organiser le monde infini des nombres. Ils fournissent une structure. Ils permettent un calcul précis. Sans eux, les mathématiques seraient un gâchis chaotique.
Quel type de numéro utilisez-vous le plus souvent dans la vie quotidienne ? Probablement rationnels. Mais plus on avance, plus cela devient étrange.
